北京市重点学校2021-2022学年高二上学期期末数学汇编：空间点、直线、平面之间的位置关系2

2021北京重点校高二（上）期末数学汇编 空间点、直线、平面之间的位置关系2 一、单选题 1．（2021·北京·人大附中高二期末）如图，在正方体中，，点P在平面内，，则点P到距离的最小值为（ ） A． B． C． D．3 2．（2021·北京·清华附中高二期末）如图，正四棱柱满足，点E在线段上移动，F点在线段上移动，并且满足.则下列结论中正确的是（ ） A．直线与直线可能异面 B．直线与直线所成角随着E点位置的变化而变化 C．三角形可能是钝角三角形 D．四棱锥的体积保持不变 3．（2021·北京八中高二期末）如图，点E是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中点，点F，M分别在线段AC，BD1（不包含端点）上运动，则（ ） A．在点F的运动过程中，存在EF//BC1 B．在点M的运动过程中，不存在B1M⊥AE C．四面体EMAC的体积为定值 D．四面体FA1C1B的体积不为定值 4．（2021·北京市十一学校高二期末）如图，在正方体中，在线段上运动，则下列结论中正确的个数有（ ） （1）三棱锥的体积为定值 （2） （3）与所成的角的范围为 A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 5．（2021·北京八中高二期末）如图，正方体的棱长为分别是棱的中点，过直线的平面分别与棱交于，设，给出以下四个结论： ①平面平面； ②当且仅当时，四边形的面积最小； ③四边形的周长是单调函数； ④四棱锥的体积为常值函数. 其中，所有错误结论的序号是___________. 6．（2021·北京市十一学校高二期末）点A，B，C在球O表面上，，，，若球心O到截面的距离为，则该球的体积为___________. 7．（2021·北京八中高二期末）一个圆柱和它的内切球的体积的比值为___________. 三、解答题 8．（2021·北京市十一学校高二期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD，ABCD是直角梯形，，，，，点E是PB的中点， （1）证明：平面平面PBC； （2）若直线PB与平面PAC所成角的正弦值为. （i）求三棱锥的体积： （ii）求二面角的余弦值. 9．（2021·北京·北师大实验中学高二期末）如图1，梯形中，为中点.将沿翻折到的位置，如图2. （Ⅰ）求证：平面平面； （Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值； （Ⅲ）设分别为和的中点，试比较三棱锥和三棱锥（图中未画出）的体积大小，并说明理由. 10．（2021·北京八中高二期末）如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点为线段的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求三棱锥的体积. 参考答案 1．B 【解析】 可求出的轨迹为的内切圆，再将的轨迹投影到面上，恰好为的内切圆，上的切点与对应的点即为到距离最短的点. 【详解】 ①先简要说明：面如下 因为四边形为正方形，故 又面，有 故面，故 同理有，故面 ②再简要说明：面面如下 ，故面 ，故面 故面面 ③设面 面 ，三棱锥为正三棱锥，为的内心 由等体积法可知 故 的内切圆的半径 的轨迹是面上以为圆心，为半径的圆，记为 恰好为的内切圆. 又面面，全等于， 面 故也为正的内心 将圆投影到平面上，且圆心为，记为圆，故是的内切三角形 上的切点与上对应的点即为到距离最短的点. 故则点P到距离的最小值等于 【点睛】 求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积． 2．D 【分析】 如图所示，连接有关线段.设M,N为AC,A1C1的中点，MN的中点为O,可得AC1与EF都是以O为中点，由此可判定A错误；利用线面垂直可以得到，从而否定B；利用勾股定理和三角形锐角钝角的判定条件计算可以判定△AEF为锐角三角形，从而否定;利用体积转化，分解方法，结合线面平行的性质可以判定. 【详解】 如图所示，连接有关线段. 设M,N为AC,A1C1的中点，即为上下底面的中心， MN的中点为O,则AC1的中点也是O, 又∵DE=B1F,由对称性可得O也是EF的中点， 所以AC1与EF交于点O,故不是异面直线，故A错误； 由正四棱柱的性质结合线面垂直的判定定理易得平面， 因为平面，∴故B错误； 设,则,设, 易得 因为 为锐角； 因为 为锐角， 因为 当时取得最小值为 为锐角，故△AEF为锐角三角形，故C错误； 三棱锥A-EFC也可以看做F-AOC和E-AOC的组合体， 由于△AOB是固定的，E,F到平面AOC的距离是不变的 (∵易知BB1，DD1平行与平面ACC1A1)，故体积不变， 故D正确. 故选：D. 【点睛】 本题综合考查空间的线线角，几何体体积问题，涉及利用勾股定理判定三角形内角是锐角问题(在△中，，