北京市中关村中学2020-2021学年高二下学期期末考试数学试题

2021北京中关村中学高二（下）期末 数 学 一、选择题，本题共10个小题，每题5分，共50分．每题只有一个正确选项，请将正确答案填写到答题纸的相应位置． 1．（5分）若集合，，则下列结论中正确的是　　 A． B． C． D． 2．（5分）在复平面内，复数对应的点位于　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（5分）设甲、乙两个厂家生产同一款产品的市场占有率分别为和，且甲、乙两厂生产该款产品的合格率分别为和．则从市场上买到一个合格品的概率为　　 A． B． C． D． 4．（5分）双曲线的一条渐近线的方程为，则双曲线的实轴长为　　 A．1 B． C．2 D． 5．（5分）盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是的事件为　　 A．恰有1只是坏的 B．4只全是好的 C．恰有2只是好的 D．至多有2只是坏的 6．（5分）设函数为常数），则“”是“为偶函数”的　　 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（5分）中长跑是一项对学生身体锻炼价值较高的运动项目，在某校的一次中长跑比赛中，全体参赛学生的成绩近似地服从正态分布，已知成绩在90分以上（含90分）的学生有32名．则参赛的学生总数约为　　 （参考数据：，， A．208 B．206 C．204 D．202 8．（5分）已知函数的部分图象如图所示，将该函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象．若函数的图象关于原点对称，则的最小值　　 A． B． C． D． 9．（5分）期末考试结束后，某班要安排6节课进行试卷讲评，要求课程表中要排入语文、数学、英语、物理、化学、生物共六节课，如果第一节课只能排语文或数学，最后一节不能排语文，则不同的排法共有　　 A．192种 B．216种 C．240种 D．288种 10．（5分）在棱长为1的正方体中，，分别为，的中点，点在正方体的表面上运动，且满足，则下列说法正确的是　　 A．点可以是棱的中点 B．线段的最大值为 C．点的轨迹是正方形 D．点轨迹的长度为 二、填空题，本题共有6个小题，每题5分，共30分，请将正确答案填写在答题纸的相应位置． 11．（5分）二项式的展开式中的系数为15，则　　（用数字作答）． 12．（5分）数列是公差为的等差数列，记的前项和为，且，，成等比数列，则　　；　　． 13．（5分）函数的一个单调递减区间是 　　． 14．（5分）已知抛物线的焦点为，过点作轴的垂线交抛物线于点，且满足，则抛物线的方程为 　　；设直线交抛物线于另一点，则点的纵坐标为 　　． 15．（5分）已知函数，关于函数给出下列命题： ①函数为偶函数； ②函数在区间单调递增； ③函数存在两个零点； ④函数存在极大值和极小值． 其中正确命题的序号是 　　． 16．（5分）炎炎夏日，冰激凌成为非常受欢迎的舌尖上的味道．某商店统计了一款冰激凌6月份前6天每天的供应量和销售量，结果如表： 6月1日 6月2日 6月3日 6月4日 6月5日 6月6日 供应量 90 100 90 100 90 100 销售量 80 90 85 80 90 85 记为6月日冰激凌的供应量，为6月日冰激凌的销售量，其中，2，，30．用销售指数，来评价从6月日开始连续天的冰激凌的销售情况．当时，表示6月日的日销售指数． 给出下列四个结论： ①在6月1日至6日这6天中，最小，最大； ②在6月1日至6日这6天中，日销售指数越大，说明该天冰激凌的销售量越大； ③，，； ④如果6月7日至12日冰激凌每天的供应量和销售量与6月1日至6日每天的供应量和销售量对应相等，则对任意，2，3，4，5，6，，都有，，． 其中所有正确结论的序号是　　． 三、解答题，本题共有5道小题，共70分．请将详细解答过程填写在答题纸的相应位置． 17．（12分）设的内角，，的对边分别为，，，且． （Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）在以下三组条件中选择一组作为已知条件，使三角形存在且唯一确定，并求其面积． ①，； ②，； ③边上的高，． 18．（13分）在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，为线段的中点．底面，点是棱长的中点，平面与棱相交于点． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）若与所成的角为，求直线与平面所成角的正弦值． 19．（15分）高铁和航空的飞速发展不仅方便了人们的出行，更带动了我国经济的巨大发展．据统计，在2018年这一年内从市到市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为50万人次．为了解乘客出行的满意度，现从中随机抽取100人次作为样本，得到如表（单位：人次） 满意度 老年人 中年人 青年人 乘坐高铁 乘坐飞机 乘坐高铁 乘坐飞机 乘坐高铁 乘坐飞机 10分