北京市中国人民大学附属中学2021-2022学年高二上学年期末考试数学试题

2021北京人大附中高二（上）期末 数 学 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．） 1．（5分）已知，是两条不同直线，，，是三个不同平面，下列命题中正确的是　　 A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 2．（5分）已知复数为虚数单位），则下列说法正确的是　　 A．复数在复平面内对应的点落在第二象限 B． C．的虚部为1 D． 3．（5分）如果直线与直线垂直，那么的值为　　 A． B． C． D．2 4．（5分）某邮局有4个不同的信箱，现有5封不同的信需要邮寄，则不同的投递方法共有　　 A．种 B．种 C．种 D．种 5．（5分）若抛物线的准线方程为，则抛物线的标准方程为　　 A． B． C． D． 6．（5分）已知二项式的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是，则的系数为　　) A．14 B． C．240 D． 7．（5分）在棱长为1的正四面体中，，分别是，中点，则　　 A．0 B． C． D． 8．（5分）如图，设椭圆的右顶点为，右焦点为，为椭圆在第二象限上的点，直线交椭圆于点，若直线平分线段于，则椭圆的离心率是　　 A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把结果填在答题纸上的相应位置．） 9．（5分）若复数是虚数单位）在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是　　． 10．（5分）已知双曲线的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点．则曲线的方程为　　． 11．（5分）在边长为2的菱形中，，将这个菱形沿对角线折成的二面角，这时线段的长度为　　． 12．（5分）若直线与圆相交于，两点，且，为坐标原点），则　　． 13．（5分）用1，2，3组成四位数，其中恰有一个数字出现两次的四位数有　　个． 14．（5分）如图，若正三棱柱的底面边长为8，对角线的长为10，点为的中点，则点到平面的距离为　　，直线与直线所成角的余弦值为　　． 三、解答题（本大题共3小题，每题10分，共30分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．） 15．（10分）在平面直角坐标系中，已知定点、、，的外接圆为圆，直线的方程为． （Ⅰ）求圆的方程； （Ⅱ）若直线与圆相切，求的值； （Ⅲ）若直线与圆相交于，两点，，求的值． 16．（10分）如图，在四棱锥中，平面平面，，为线段，的中点，四边形是边长为1的正方形，，． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值； （Ⅲ）点在直线上，若平面平面，求线段的长． 17．（10分）已知椭圆过点，且离心率为． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设直线与椭圆交于，两点．若直线上存在点，使得四边形是平行四边形，求的值． 四、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．） 18．（6分）展开式中系数最大的项是　　 A． B． C． D． 19．（6分）设为双曲线的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于，两点．若，则的离心率为　　 A． B． C．2 D． 20．（6分）如图，在正方体中，，点在平面内，，则点到距离的最小值为　　 A． B． C． D．3 五、填空题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．请把结果填在答题纸上的相应位置．） 21．（6分）已知直线和直线，则抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是　　． 22．（6分）设集合，，，，，0，，，2，3，4，，则集合中满足条件“”元素个数为　 　． 23．（6分）已知椭圆的两个焦点分别为和，短轴的两个端点分别为和，点在椭圆上，且满足．当变化时，给出下列三个命题： ①点的轨迹关于轴对称； ②存在使得椭圆上满足条件的点仅有两个； ③的最小值为2， 其中，所有正确命题的序号是　　． 六、解答题（本大题共1小题，满分14分．解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．） 24．（14分）已知椭圆的左顶点为，动直线与椭圆交于不同的两点，（不与点重合），点在以为直径的圆上，点关于原点的对称点为； （Ⅰ）求椭圆的方程及离心率； （Ⅱ）求证：直线过定点； （Ⅲ）（ⅰ）求面积的最大值； （ⅱ）若为直角三角形，求直线的方程． 2021北京人大附中高二（上）期末数学 参考答案 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．） 1．【分析】通过举反例可得、、不正确，根据垂直于同一个平面的两条直线平行，可得正确，从而得出结论． 【解答】解：、，平行于同一个平面，故，可能相交，可能平行