立体几何微专题：翻折问题-2023届高三数学一轮复习学案

( C ) ( C ) ( E ) ( F )微专题 ：立体几何中的翻折问题 环节 1 自主探究 1．已知矩形ABCD ，AB = 1 ，BC = 2 ，将 ABD沿BD折起，使平面ABC ⊥ 平面BCD ，在平面ABC 内，过点A作 AK ⊥ BC ，K 为垂足，求 BK 的长度． ( A )D A D ( C ) ( K ) ( B )B C 2 ．已知矩形ABCD ， AB = 1 ，BC = ，将 ABD沿矩形对角线BD所在的直线进行翻折， 在翻折 第1页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 过程中： A ．存在某个位置，使得直线 AC 与直线BD垂直 B ．存在某个位置，使得直线 AB与直线CD 垂直 C ．存在某个位置，使得直线 AD 与直线BC 垂直 A D B C D ．对任意位置， 三直线“ AC 与BD”、“AB与 CD ”、“AD 与BC ”均不垂直 3．(2009 浙江， 理 17) 如图， 在长方形ABCD 中， AB = 2 ，BC = 1 ，E 为DC 的中点， F 为线段EC (端点除外) 上一动点．现将 AFD沿 AF 折起，使平面 ABD ⊥ 平面 ABC ．在平面 ABD 内过点 D 作 DK ⊥ AB ，K 为垂足． 设AK = t ，则 t 的取值范围是 ． D A E F C B A D K B 环节 2 考题选讲 典例 1：(2018 课标 Ⅰ ，理 18) 如图， 四边形ABCD 为正方形， 折痕把 DFC 折起，使点C 到达点P的位置，且 PF ⊥ BF ． (1) 证明：平面PEF ⊥ 平面ABFD ； (2)求 DP与平面ABFD所成角的正弦值． E,F 别为AD, BC 的中点， 以DF 为 P ( D ) F ( B )A ( A ) ( E 在 DC 边上，且 DE = 1 ， D ' ) ( E ) ( D C )典例 2：(2017 佛山二模，理 19)如图，矩形ABCD中，AB = 4 ，AD = 2 ， 将 ADE 沿 AE 折到 ADE 的位置，使得平面 ADE ⊥ 平面ABCE． (1) 求证： AE ⊥ BD ； (2) 求二面角D − AB − E 的余弦值． A B 第2页 共4页 典例 3：(2019 佛山二模，理 18) 如图，四棱锥E − ABCD中， (1) 证明：平面ADE ⊥ 平面ABE ； (2) 当直线DE 与平面ABE 所成的角为30时， 求平面DCE 与平面 ABE 所成锐二面角的余弦值． 四边形ABCD是边长为2 的菱形， ( D C E ) B 环节 3 总结提升 立体几何中的翻折问题， 是先将一平面图形翻折后变成空间图形，然后根据平面图形的数量关系、位 关系等来研究空间图形中各元素间的数量关系、位置关系等问题． 解决翻折问题的关健是确定翻折前后的 不变量与改变量．因此，我们在解题时要仔细审视从平面图形到立体图形的几何特征的变化情况，注意相 应的点、直线、平面间的位置关系， 注意线段的长度、角度的变化情况等． A1 轨迹面 B A2 ( H ) ( O ) ( A ) ( 初始面 )翻折面 C 翻折轴 ( D C ) ( A B )环节 4 精选精做 第3页 共4页 1．(2020 佛山高二，理 21) 如图， 梯形ABCD中，AB// DC ， BCD沿BD折到 BCD的位置，使得平面BCD ⊥ 平面ABCD . (1) 求证： AD ⊥ BC ； (2) 求二面角B− AC − D的余弦值． 2.（2019年全国统一高考数学试卷（理科