2021-2022学年北京高二上学期期中数学汇编：空间直线、平面的垂直

2021北京高二（上）期中数学汇编 空间直线、平面的垂直 一、单选题 1．（2021·北京市第五十七中学高二期中）如图，直二面角，，，，且，，，，，，则的面积最大值为（       ） A．6 B．12 C．18 D．24 2．（2021·北京市八一中学高二期中）在空间直角坐标系中，已知长方体的顶点，，，，则直线与平面之间的距离为（       ） A． B． C． D． 3．（2021·北京·人大附中高二期中）二面角为，异面直线、分别垂直于、，则与所成的角为（       ） A． B． C． D． 4．（2021·北京景山学校远洋分校高二期中）已知长方体中，，，则直线与平面所成角的正弦值为（       ） A． B． C． D． 5．（2021·北京市昌平区前锋学校高二期中）如图，设，分别是正方体的棱上两点，且，，其中正确的命题为（       ） A．直线与所成的角为 B．异面直线与所成的角为 C．平面 D．三棱锥的体积为定值 6．（2021·北京交通大学附属中学高二期中）将一块边长为 的正三角形铁皮沿各边的中位线折叠成一个正四面体，则这正四面体某顶点到其相对面的距离是（       ） A． B． C． D． 7．（2021·北京·北师大二附中未来科技城学校高二期中）已知长方体中，，，则直线和平面所成角的正弦值等于（       ） A． B． C． D． 8．（2021·北京市第四十三中学高二期中）已知向量，是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量在直线l上，则“，且”是的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．（2021·北京交通大学附属中学高二期中）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖臑”.在如图所示的四棱锥中，平面，底面是正方形，且，点，分别为，的中点，则图中的鳖臑有 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 10．（2021·北京市第二十二中学高二期中）如图,在棱长为的正方体中,点、是棱、的中点, 是底面上（含边界）一动点,满足,则线段长度的取值范围是 A． B． C． D． 11．（2021·北京交通大学附属中学高二期中）在下列命题中： ①存在一个平面与正方体的12条棱所成的角都相等； ②存在一个平面与正方体的6个面所成较小的二面角都相等； ③存在一条直线与正方体的12条棱所成的角都相等； ④存在一条直线与正方体的6个面所成的角都相等． 其中真命题的个数为 A．1 B．2 C3 C．4 二、双空题 12．（2021·北京八十中高二期中）在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，D1B与平面ABCD所成的角为60°，则棱AA1的长为_____________；点C1到平面BDD1的距离为_____________． 13．（2021·北京·中关村中学高二期中）正方体的棱长为1，动点M在线段CC1上，动点P在平面上，且平面. （Ⅰ）当点M与点C重合时，线段AP的长度为_______； （Ⅱ）线段AP长度的最小值为_______. 三、填空题 14．（2021·北京·北理工附中高二期中）圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，则该圆锥的母线与底面所成的角的余弦值是______________. 15．（2021·北京八中高二期中）在棱长为6的正方体中，是的中点，是该正方体侧面上的点，且满足，则三棱锥的体积最大值是__________. 四、解答题 16．（2021·北京·北理工附中高二期中）如图，在直三棱柱中，，，点D，E，F分别为棱，，的中点. (1)求证：平面DEF； (2)在线段上是否存在一点P，使得直线DP与平面所成的角为30°？如果存在，求出线段AP的长；如果不存在，说明理由. 17．（2021·北京·北理工附中高二期中）在四棱锥中，平面平面，底面为梯形，，，且，，. (1)求证：平面； (2)求直线与所成角的余弦值； (3)求四棱锥的体积. 18．（2021·北京交通大学附属中学高二期中）如图，三棱柱中，底面，，是的中点. (1)求证：平面； (2)若，，求三棱柱的体积. 19．（2021·北京·北师大二附中未来科技城学校高二期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面，为棱的中点，． (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 20．（2021·北京市八一中学高二期中）如图，四边形是边长为的正方形，平面，，，平面所成角为. (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)求三棱锥的体积. 21．（2021·北京·昌平一中高二期中）如图，在四棱锥中P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，BC⊥平面PAB，PA⊥AB，PA＝2． (1)求证：P