题型小卷22 “17—20”解答题-【精彩三年】2023高考数学汇编与名师优创选填解答题型28卷教师用书word

题型小卷22　“17—20”解答题(见学生用书P43)

[限时：45分钟　满分：46分]

 

解答题：本题共4小题，共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

(10分)已知数列的首项为1，满足a3－a4＝a3a4，且，，1成等差数列．

(1)求的通项公式；

(2)求证：a1a2a3＋a2a3a4＋a3a4a5＋…＋anan＋1an＋2<.

解：(1)由题意得＝＋1，则＝＋，

∴数列为等差数列．

又a3－a4＝a3a4，

∴－＝1，即数列的公差为1，

∴＝1＋n－1＝n，即an＝.

(2)证明：由已知得anan＋1an＋2＝＝，

∴a1a2a3＋a2a3a4＋a3a4a5＋…＋anan＋1an＋2

＝

Error!

＝－<.

(12分)如图，在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，tan ∠CAB＝，D为BC上一点，AD＝3.

(1)若D为BC的中点，BC＝3，求△ABC的面积；

(2)若∠DAB＝45°，求△ABC的面积的最小值．

解：(1)∵D为BC的中点，∴＝，

∴2＝.

∵tan ∠CAB＝，故A为锐角，

∴sin ∠CAB＝，cos ∠CAB＝，

则18＝.

又由余弦定理得18＝c2＋b2－2bc·，

两式联立，解得bc＝，

∴S△ABC＝bc sin ∠CAB＝××＝9.

(2)∵∠DAB＝45°，tan ∠CAB＝，

∴tan ∠CAD＝tan ＝＝，

sin ∠CAD＝，

∴S△ABC＝S△CAD＋S△BAD＝b·3sin ∠CAD＋

c·3sin ∠DAB＝bc sin ∠CAB，

即b＋3c＝bc，

即b＋3c＝bc≥2⇒bc≥(当且仅当b＝，c＝时取得最小值)，

∴S△ABC＝bc sin ∠CAB≥××＝.

(12分)如图1，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝AB＝4，M是AB的中点，将△ADM沿DM折起至△A′DM，如图2，点N在线段A′C上．

(1)若N是A′C的中点，求证：平面DNM⊥平面A′BC.

(2)若A′C＝2，平面DNM与平面CDM夹角的余弦值为，求的值．