第三章 圆锥曲线的方程单元检测——2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第三章 圆锥曲线的方程单元检测 一、单选题 1．已知椭圆的离心率为，则（    ） A． B． C．2 D．3 2．椭圆焦点在轴上，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形恰好是边长等于4的正方形，则椭圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 3．已知椭圆的一个焦点为，左顶点为A，上顶点为B，若 ，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．“”是“方程表示双曲线”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，为该双曲线上的任意一点，设为原点，，，为实数，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．已知F是抛物线的焦点，点在抛物线C上，则（    ） A． B． C．3 D．4 7．设F为抛物线的焦点，过F的直线交抛物线C于A，B两点，且，O为坐标原点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 8．已知O为坐标原点，双曲线C：的右焦点为F，以OF为直径的圆与C的两条渐近线分别交于与原点不重合的点A，B，若，则的周长为（    ） A．6 B． C． D． 二、多选题 9．已知M是椭圆上一点，，是其左右焦点，则下列选项中正确的是（    ） A．椭圆的焦距为2 B．椭圆的离心率 C．椭圆的短轴长为4 D．的面积的最大值是4 10．己知双曲线，则（    ） A．双曲线C的实半轴长为2 B．双曲线C的虚轴长为 C．双曲线C的离心率为2 D．双曲线C的渐近线方程为 11．已知抛物线的焦点到准线的距离为4，过的直线与抛物线交于两点，为线段的中点，则下列结论正确的是（    ） A．抛物线的准线方程为 B．当，则直线的倾斜角为 C．若，则点到轴的距离为8 D． 12．已知曲线，则（    ） A．若，则曲线C是圆，其半径为2 B．若，则曲线C是椭圆，其焦点在y轴上 C．若线C过点，则C是双曲线 D．若，则曲线C不表示任何图形 三、填空题 13．以，为焦点，且经过点的椭圆的标准方程为____________. 14．已知抛物线的图像过点，则该抛物线的焦点到准线的距离为___________. 15．若椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，则___________． 16．已知直线与椭圆C：交于A，B两点，弦BC平行y轴，交x轴于D，AD的延长线交椭圆于E，下列说法中正确的命题有______． ①椭圆C的离心率为：；    ②； ③；        ④以AE为直径的圆过点B． 四、解答题 17．（1）已知椭圆的焦点为，，点是椭圆上的一个点，求椭圆的标准方程； （2）已知椭圆中，且，求椭圆的标准方程． 18．已知的两个顶点分别为椭圆的左焦点和右焦点，且三个内角满足关系式. (1)求线段的长度； (2)求顶点的轨迹方程. 19．已知抛物线的顶点是坐标原点，焦点在轴上，且抛物线上的点到焦点的距离是5. (1)求该抛物线的标准方程； (2)若过点的直线与该抛物线交于，两点，求证：为定值. 20．已知分别是椭圆的左、右焦点，，点在椭圆上且满足． (1)求椭圆的方程； (2)斜率为的直线与椭圆相交于两点，若，求直线的方程． 21．已知双曲线的焦点到渐近线的距离为2，渐近线的斜率为2． (1)求双曲线的方程； (2)设过点的直线与曲线交于两点，问在轴上是否存在定点，使得为常数？若存在，求出点的坐标及此常数的值；若不存在，说明理由． 22．已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为A，钝角三角形的面积为，斜率为的直线交椭圆C于P，Q两点.当直线经过，A两点时，点到直线的距离为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)设O为坐标原点，当直线的纵截距不为零时，试问是否存在实数k，使得 为定值?若存在，求出此时面积的最大值；若不存在，请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 答案 1．B 2．A 3．D 4．C 5．D 6．D 7．D 8．B 9．BCD 10．BCD 11．AD 12．BC 13． 14．2 15．9 16．②③④ 17．（1）显然椭圆的焦点在y轴上，设椭圆的方程为， 则，解得：， 椭圆方程为： （2）因为，，解得：， 又因为，所以， 椭圆的标准方程为或. 18．（1）椭圆的方程为， 椭圆的方程为， 分别为椭圆的左焦点和右焦点， ， ，线段的长度； （2）中根据正弦定理得：(为外接圆半径)， ， ， , ． 点的轨迹是以为左右焦点的双曲线的右支，且不包含右顶点， 设该双曲线方程为 且， 顶点的轨迹方程为 19．（1）∵抛物线焦点在轴上，且过点， ∴设抛物线方程为（）， 由抛物线定义知，点到焦点的距离等于5， 即点到准线的距离等于5， 则，∴， ∴抛物线方程为. （2）显然直线的