空间角的计算（一）异面直线所成角学案-2023届高三数学一轮复习

空间角的计算（一）——异面直线所成角学案 一、基本知识： 1.定义：直线a、b是异面直线，经过空间一交O， 分别作直线a΄//a，b΄//b，相交直线a΄、b΄所成的 锐角（或直角）叫做异面直线所成的角. 2.范围：. 3.求解方法：平移法（定义法）、向量法 （1）平移法：在图中选一个恰当的点（通常是线段端点或中点）作a、b的平行线，构造一个三角形，并解三角形求角. ①（构造）平行四边形平移法：利用平行四边形对边平行，构造平行四边形，平移异面直线至对边； ②中位线平移法：构造三角形找中位线，然后利用中位线的性质，平移异面直线至中位线； ③补形平移法：在已知图形外补作一个相同的几何体，以利于找出平行线. （2）向量法：根据题意，确定两异面直线各自的方向向量， 则两异面直线所成角满足公式. 1 基底法：选取一组基底，用于表示方向向量 分别算出 ，，代入上式； ②坐标法：建系，分别确定两异面直线上某两点坐标， 进而求出方向向量 . 二、典例示范 典型例题 如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为2,侧棱长为，则异面直线AC1和CB1的所成角的余弦值为 . 三、自主练习 1.长方体中的异面直线所成角 （2018课标Ⅱ，9）在长方体中， ，，则异面直线与 所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 2.柱体（非长方体）中的异面直线所成角 （2017课标Ⅱ，10）已知直三棱柱中， ，，，则异面直线 与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 3. 锥体中的异面直线所成角 ( B M A N C S )(教材习题改编) 已知正四面体S-ABC的棱长为1，M、N分别是AB和SC的中点，求异面直线SM与BN所成的角的余弦值. 四、课后拓展思考题： 课外拓展思考： 1. (2015课标全国Ⅰ，理18)如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC． (1)证明：平面AEC⊥平面AFC; (2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值. 2.直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是线段A1B1，A1C1上的点，BC＝CA＝CC1，且BM与AN所成角的余弦值为． （1）若A1M=B1M，且C1N=λC1 A1，求λ的值； （2）若C1N= A1 N , 且A1M=μ A1B1，求μ的值 学科网（北京）股份有限公司 $