专题13 二次函数与平行四边形存在性问题-2023年中考数学重难点题型之二次函数（全国通用）

专题13 二次函数与平行四边形存在性问题 解题点拨 考虑到求证平行四边形存在，必先了解平行四边形性质： （1）对应边平行且相等； （2）对角线互相平分． 这是图形的性质，我们现在需要的是将其性质运用在在坐标系中： （1）对边平行且相等可转化为：， 可以理解为点B移动到点A，点C移动到点D，移动路径完全相同． （2）对角线互相平分转化为：， 可以理解为AC的中点也是BD的中点． 【小结】虽然由两个性质推得的式子并不一样，但其实可以化为统一：， →． 当AC和BD为对角线时，结果可简记为：（各个点对应的横纵坐标相加） 以上是对于平行四边形性质的分析，而我们要求证的是平行四边形存在性问题，此处当有一问：若坐标系中的4个点A、B、C、D满足“A+C=B+D”，则四边形ABCD是否一定为平行四边形？ 反例如下： 之所以存在反例是因为“四边形ABCD是平行四边形”与“AC、BD中点是同一个点”并不是完全等价的转化，故存在反例． 虽有反例，但并不影响运用此结论解题，另外，还需注意对对角线的讨论： （1）四边形ABCD是平行四边形：AC、BD一定是对角线． （2）以A、B、C、D四个点为顶点是四边形是平行四边形：对角线不确定需要分类讨论． 直击中考 1．（2022·四川攀枝花·统考中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于O（O为坐标原点），A两点，且二次函数的最小值为，点是其对称轴上一点，y轴上一点． (1)求二次函数的表达式； (2)二次函数在第四象限的图象上有一点P，连结，，设点P的横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数关系式； (3)在二次函数图象上是否存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点N的坐标，若不存在，请说明理由． 2．已知抛物线关于轴对称，与轴交于、两点，点坐标为，抛物线还经过点． (1)求抛物线的解析式； (2)已知点在轴上，在抛物线上是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．抛物线的顶点为D，其对称轴与线段交于点E，垂直于x轴的动直线l分别交抛物线和线段与点P和F，动直线l在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿x轴正方向移动到B点． (1)求出所在直线的表达式； (2)在动直线l移动的过程中，试求使四边形为平行四边形的点P的坐标； 4．（2021·湖南湘西·统考中考真题）如图，已知抛物线经过，两点，交轴于点． （1）求抛物线的解析式； （2）连接，求直线的解析式； （3）请在抛物线的对称轴上找一点，使的值最小，求点的坐标，并求出此时的最小值； （4）点为轴上一动点，在抛物线上是否存在一点，使得以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（2022·重庆·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点是直线下方拋物线上的一动点，过点作轴的平行线交于点，过点作轴的平行线交轴于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位，点为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 6．（2022·湖南怀化·统考中考真题）如图一所示，在平面直角坐标中，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A(﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，顶点为点D．在线段CB上方的抛物线上有一动点P，过点P作PE⊥BC于点E，作PFAB交BC于点F． (1)求抛物线和直线BC的函数表达式， (2)当△PEF的周长为最大值时，求点P的坐标和△PEF的周长． (3)若点G是抛物线上的一个动点，点M是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在以C、B、G、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由． 7．（2022·四川眉山·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，且点的坐标为． (1)求点的坐标； (2)如图1，若点是第二象限内抛物线上一动点，求点到直线距离的最大值； (3)如图2，若点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 8．（2022·湖南娄底·统考中考真题）如图，抛物线与轴相交于点、点，与轴相交于点． (1)请直接写出点，，的坐标； (2)点在抛物线上，当取何值时，的面积最大？并求出面积的最大值． (3)点是抛