5.3.2.1 函数的极值 -【帮课堂】2022-2023学年高二数学同步精品讲义（人教A版2019选择性必修第二册）

5.3.2.1 函数的极值 课程标准 课标解读 1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系. 2.掌握函数极值的判定及求法. 3.掌握函数在某一点取得极值的条件． 4.能根据极值点与极值的情况求参数范围. 5.会利用极值解决方程的根与函数图象的交点个数问题． 通过本节课的学习要求会求函数的极值、极值点；能解决与极值点相关的参数问题；并能利用极值解决方程的根与函数的交点问题. 知识点1 极值点与极值的概念 1．极小值点与极小值 函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． 2．极大值点与极大值 函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则把b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． 3．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． 注意点：(1)极值点不是点；(2)极值是函数的局部性质；(3)函数的极值不唯一；(4)极大值与极小值两者的大小不确定；(5)极值点出现在区间的内部，端点不能是极值点；(6)若f′(x0)＝0，则x0不一定是极值点，即f′(x0)＝0是f(x)在x＝x0处取到极值的必要不充分条件，函数y＝f′(x)的变号零点，才是函数的极值点． 【即学即练1】关于函数的极值，下列说法正确的是（ ） A．导数为零的点一定是函数的极值点 B．函数的极小值一定小于它的极大值 C．一个函数在它的定义域内最多只有一个极大值和一个极小值 D．若一个函数在某个区间内有极值，则这个函数在该区间内不是单调函数 【即学即练2】已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极小值点的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【即学即练3】函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，其导函数在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内的极大值点有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 知识点2 求函数的极值 1．求函数y＝f(x)的极值的方法 解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时， (1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值； (2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值． 2．求可导函数f(x)的极值的步骤 (1)确定函数的定义域，求导数f′(x)； (2)求方程f′(x)＝0的根； (3)列表； (4)利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值． 注：可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f ′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f ′(x)的符号不同； 【即学即练4】已知函数的导函数为，则“”是“函数在处有极值”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【即学即练5】求下列函数的极值： (1)f(x)＝x3－x； (2)f(x)＝x2e－x. 【即学即练6】求下列函数的极值： （1）f(x)＝x3－x2－3x；（2）f(x)＝x4－4x3＋5；（3）f(x)＝. 【即学即练7】函数，则（ ） A．x＝为f(x)的极大值点 B．x＝ 为f(x)的极小值点 C．x＝2为f(x)的极大值点 D．x＝2为f(x)的极小值点 考点一 知图判断函数极值 解题方略： 解答此类问题要先搞清楚所给的图象是原函数还是导函数的，对于导函数的图象，重点考查在哪个区间上为正，哪个区间上为负，在哪个点处与x轴相交，在该点附近的导数值是如何变化的，若是由正值变为负值，则在该点处取得极大值；若是由负值变为正值，则在该点处取得极小值． 【例1-1】函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断： ①函数y＝f(x)在区间(3,5)内单调递增； ②函数y＝f(x)在区间内单调递减； ③函数y＝f(x)在区间(－2,2)内单调递增； ④当x＝－时，函数y＝f(x)有极大值； ⑤当x＝2时，函数y＝f(x)有极大值． 则上述判断中正确的序号是________． 变式1：函数f(x)的定义域为R，它的导函数y＝f′(x)的部分图象如图所示，则下面结论错误的是(　　) A．在(1,2)上函数f(x)单调递增 B．在(3,4)上函数f(x)单调递减 C．在(1,3)上函数f(x)有极大值 D．x＝3是函数f(x)在区间