专题9.24 三角形的中位线（知识讲解）-2022-2023学年八年级数学下册基础知识专项讲练（苏科版）

专题9.24 三角形的中位线（知识讲解） 【学习目标】 1. 理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理； 2. 运用三角形中位线与第三边的位置关系、数量关系解决问题； 3. 理解并掌握三角形中位线定理的拓展结论。 【要点梳理】 要点一、三角形的中位线 1．定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 2．定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半. 特别说明： （1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系. （2）三角形的三条中位线把原三角形分成可重合的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的. （3）三角形的中位线不同于三角形的中线. 要点二、中点三角形 定义：中点三角形就是把一个三角形的三边中点顺次连接起来的一个新三角形. 性质： （1）这个新三角形的各个边长分别是原来三角形三边长的一半且分别平行，角的度数与原三角形分别相等，4个三角形都全等 （2）中点三角形周长是原三角形的周长一半。 （3）中点三角形面积是原三角形面积的四分之一。 补充：中点三角形与原三角形不仅相似，而且位似。 要点三、中点四边形 定义：依次连接任意四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。中点四边形的形状与原四边形的对角线的数量和位置关系有关。 性质（1）不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形。 【典型例题】 类型一、中位线➽➼概念的理解与认识➽➼中位线✮✮中点四边形 1．在中，，，，点，，分别为边，，的中点，则的周长为（    ） A．9 B．12 C．14 D．16 【答案】A 【分析】根据三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，可得出△ABC的周长=2△DEF的周长． 解：∵D，E，F分别为各边的中点， ∴DE、EF、DF是△ABC的中位线， ∴DE=BC=3，EF=AB=2，DF=AC=4， ∴△DEF的周长=3+2+4=9． 故选：A． 【点拨】本题考查了三角形中位线定理．解题的关键是根据中位线定理得出边之间的数量关系． 举一反三： 【变式1】如图，在边长为的等边中，分别取三边的中点，，，得△；再分别取△三边的中点，，，得△；这样依次下去，经过第2021次操作后得△，则△的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据三角形中位线定理计算，再总结规律，根据规律解答即可得． 解：点，分别为，的中点， ， 点，分别为，的中点， ， ， ， △的面积， 故选D． 【点拨】本题考查了三角形中位线定理，解题的关键是掌握三角形中位线定理． 【变式2】如图，四边形是菱形，，点是中点，是对角线上一点，且，则的值是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】取AC的中点M，连接EM设由中位线性质可得再根据，可得出从而得到FC的长，即可得到的结果． 解：如图所示：取AC的中点M，连接EM，DM ，设 ∵点是中点， ∴EM是的中位线， 四边形是菱形， ，∠AMD=90°， ， ∴DM=， ∴AM= 故选：D． 【点拨】本题主要考查了菱形的性质和中位线的性质，熟练掌握这些性质是解此题的关键． 2．若顺次连接四边形各边的中点所得的四边形是正方形，则四边形的两条对角线一定是(   ) A．互相平分 B．互相垂直 C．互相平分且相等 D．互相垂直且相等 【答案】D 【分析】由题意作出图形，然后根据正方形的判定定理可进行排除选项． 解：如图所示，点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AD、DC、BC、AB的中点， ∴， ∴四边形EFGH是平行四边形， 对于A选项：对角线互相平分，四边形EFGH仍是平行四边形，故不符合题意； 对于B选项：对角线互相垂直，则有，可推出四边形EFGH是矩形，故不符合题意； 对于C选项：对角线互相平分且相等，则有，可推出四边形EFGH是菱形，故不符合题意； 对于D选项：对角线互相垂直且相等，则有，，可推出四边形EFGH是正方形，故符合题意； 故选D． 【点拨】本题主要考查三角形中位线及正方形、菱形、矩形、平行四边形的判定，熟练掌握三角形中位线及正方形、菱形、矩形、平行四边形的判定是解题的关键． 举一反三： 【变式1】顺次连接任意四边形的各边中点，所得图形一定是（    ） A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．平行四边形 【答案】D 【分析】利用三角形中位线定理证明即可． 解：如图，任意四边形的各边中点分别为E、F、G、H， 连接， 则， 所以， 所以四边形是平行四边形， 故选D． 【点拨】本题考查了三角形中位线定理的应用，平行四边形的判定，熟练掌握三角形中位线定理和平行四边形的判定定理是解题的关键． 【变式2】如图，四边形中，点、、、分别是线段、