上海市浦东新区2022-2023学年高一上学期期末数学试题

浦东新区2022学年度第一学期期末教学质量检测 高一数学试卷 考生注意： 1. 答卷时间90分钟，满分100分； 2. 请在答题纸上规定的地方作答，写在其它地方一律不予批阅. 一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分. 1. .（用符号“”或“”填空）. 2. 已知集合，且，则实数a的值为______. 3. 函数的定义域是______. 4. ：x是2的倍数，：x是6的倍数；则是的______条件（填“充分非必要”“必要非充分”“充要”“既非充分又非必要”）. 5. 用有理数指数幂的形式表示（其中）______. 6. 设，则关于x的不等式的解集是______. 7. 已知一元二次方程的两个实根为、，则 ______. 8. 请将下列各组对象能组成集合的序号填在后面的横线上______. ①上海市2022年入学的全体高一年级新生； ②在平面直角坐标系中，到定点的距离等于1的所有点； ③影响力比较大的中国数学家； ④不等式的所有正整数解. 9. 设a、b、c、d是实数，则下列命题为真命题的是______. ①如果，且，那么； ②如果，且，那么； ③如果，那么； ④如果，那么. 10. 已知对数函数（且）的图像经过点，且该函数图像经过点，则实数的值是______. 11. 已知正数a和b满足，，用a及b表示______. 12. 某同学在学习了基本不等式和幂指对运算后，通过查阅资料发现了一个不等式“，当且仅当时等号成立”，请借助这个不等式，解答下题：对任意，恒成立，则b的取值范围______. 二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，每题答对得3分，否则一律得零分. 13. 下列函数与函数相同的是（ ） A. B. C. D. 14. 下列函数中，值域是的是（ ） A. B. C. D. 15. 关于幂函数的图像，下列选项描述正确的是（ ） A. 幂函数的图像一定经过和 B. 幂函数的图像一定关于y轴或原点对称 C. 幂函数的图像一定不经过第四象限 D. 两个不同的幂函数的图像最多有两个公共点 16. 已知定义域为的函数满足：①对任意x，，恒成立；②若则.以下选项表述不正确的是（ ） A. 在上是严格增函数 B. 若，则 C. 若，则 D. 函数的最小值为2 三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 17.（本题满分8分）解不等式. 18.（本题满分10分）已知集合，集合，用列举法表示集合. 19.（本题满分10分）要建造一面靠墙、且面积相同的两间相邻的长方形居室（靠墙一侧利用原有墙体），如图所示.如果已有材料可建成的围墙总长度为30m，那么当宽x（单位：m）为多少时，才能使所建造的居室总面积最大？居室的最大总面积是多少？（不考虑墙体厚度） 20.（本题满分10分）小明在学习“用函数的观点求解方程与不等式”时，灵光一动，为课本上一道习题“已知a、b为正数，求证：.”得到以下解法： 构造函数， 因为，当且仅当时取等号； 所以对于函数可得 ，当且仅当时， 即，当且仅当时可取等号. 阅读上述材料，解决下列两个问题： （1）若实数a、b、c、d、x不全相等，请判断代数式“”的取值是正还是负；（直接写出答案，无需理由） （2）求证：，并指出等号成立的条件. 21.（本题满分14分）已知是定义在D上的函数，对于D上任意给定的两个自变量的值、，当时，如果总有，就称函数为“可逆函数”. （1）判断函数是否为“可逆函数”，并说明理由； （2）已知函数在区间上是增函数，证明：，是“可逆函数”； （3）证明：函数是“可逆函数”的充要条件为“”. 参考答案 一、填空题（本大题满分36分） 1. ； 2. －1或－2； 3. ； 4. 必要非充分； 5. ； 6. 7. 3； 8.（1）（2）（4）； 9.（1）（3）（4）； 10. 9； 11. ； 12. 12、【答案】 【解析】法1：因为恒成立，当且仅当时取等号， 所以，即恒成立，当且仅当时取等号， 又，即，即对任意恒成立， 又，等且仅当时取等号，所以，又，所以. 法2：因为对任意，恒成立，所以对任意，恒成立， 又因为，所以，所以. 二、选择题 13. B 14. D 15. C 16. A 三、解答题 17.（本题满分8分） 解：或，或， 所以解集为. 18.（本题满分10分） 解：or，所以. 19.（本题满分10分） 解：设居室面积为S，则，，， 所以时，S最大值为75，所以当宽为5米时，所建造的居室总面积最大为75平方米. 20