7.1.1数系的扩充和复数的概念 课件-2021-2022学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

数系的扩充和复数的概念 数的概念是从实践中产生和发展起来的。随着生产和科学的发展,数的概念也不断的被扩大充实。 数集的扩充, 一方面是为了满足社会生产实践的需要. N Z Q R 自然数 整数 有理数 实数 负整数 分数 无理数 今天真顺,可是我现在 共捕了多少头野猪呢? 有办法了,用结绳来计数! 我真是天才! 该如何记出入账呢? 毕达哥拉斯(约公元前560—480年) 1 1 ? x2=2 《九章算术》 (东汉初年) : 第二章“粟米”:粮食的按比例折换; 第三章“衰分”:比例分配问题; 第六章“均输”:合理摊派赋税; 第八章 “方程”:解一次方程组. 无论是负数、分数的确切定义和科学表示,还是它们的运算,最早建立起来的都是中国,比欧洲早1400年. 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 数的概念是从实践中产生和发展起来的。随着生产和科学的发展,数的概念也不断的被扩大充实。 数集的扩充, 一方面是为了满足社会生产实践的需要. 另一方面是为了解决数学内部的矛盾. N Z Q R 自然数 整数 有理数 实数 从方程角度看数系扩充: 负整数 分数 无理数 数系每次扩充的基本原则: 第一、增加新元素; 第二、加法与乘法满足交换律、结合律及分配律均得到保留; 第三、新数系能解决旧数系中的矛盾. 自然数 整数 有理数 实数 从方程角度看数系扩充: 负整数 分数 无理数 引入新数 ? 数系每次扩充的基本原则: 第一、增加新元素; 第二、加法与乘法满足交换律、结合律及分配律均得到保留; 第三、新数系能解决旧数系中的矛盾. 负数开平方在R中无意义 负数不能开平方的根本原因是什么? -1不能开平方 引入什么新数能使负数开平方有意义? 在原有的R中不存在一个数的平方等于-1 引入一个新数,使它的平方等于-1 1777年,瑞士数学家欧拉首次使用表示-1的平方根,它取自imaginary(想象的,假想的)一词的词头.并把它称为虚数单位. 规定 在新的数集中, 把新引进的数i添加到实数集中,我们希望数i和实数之间仍然能 像实数那样进行加法和乘法运算,并希望加法和乘法都满足交换律结合律以及乘法对加法满足分配律,那么实数系经过扩充后得到的新数系由哪些数组成呢? 思考: 实数 i 2 有理数Q 复数的概念 定义:形如 ( , )的数称为复数. 其中叫做虚数单位. . 全体复数组成的集合称为复数集,记作 . 用描述法表示为: 对任意实数 ,有 ,所以 . 复数通常用字母表示,即 这一表示形式叫做复数的代数形式,其中叫做复数的实部叫做复数的虚部. 虚数 单位 实部 虚部 例1 说出下列复数的实部和虚部: (1) ; (2) ; (3) ; (4) ; (5) ; (6) . 解:(1) 的实部是 ,虚部是 ; (2) 的实部是 ,虚部是 ; (3) ,所以 的实部是 ,虚部是 ; 例1 说出下列复数的实部和虚部: (1) ; (2) ; (3) ; (4) ; (5) ; (6) . 解:(4) 的实部是 ,虚部是 ; (5) 的实部是 ,虚部是 ; (6) 的实部是 ,虚部是 . 例1 说出下列复数的实部和虚部: (1) ; (2) ; (3) ; (4) ; (5) ; (6) . 小结:复数 ( , )的实部是 ,虚部是 . 1.复数 ( , )的分类: 实数 纯虚数 虚数 (b=0) (b 0) (a=0) 复数 (a≠0) 非纯虚数 复数 虚数 纯虚数 实数 用韦恩图表示为: 例2 说出下列复数中的虚数和纯虚数: (1) ; (2) ; (3) ; (4) ; (5) ; (6) . 解:虚数有 , ,, ; 其中纯虚数有 , . (1)是实数; (2)是虚数; (3)是纯虚数. 例3 分别求实数 的值,使得复数 解:(1)当 ,即 时,复数 是实数; (2)当 ,即 时,复数 是虚数; (3)当 且 ,即 时,复数 是纯虚数. 2.两个复数的相等关系 已知复数 ( , ), ( , ),则 且 . 特别地, 注意:两个实数可以比较大小;但是对于两个复数,如果不全是实数,它们之间不能比较大小,只能说它们相等或不相等. (1) ; (2) ; (3) . 例4 分别求满足下列关系的实数 与 的值. (1) ; (2) ; (3) . 例4 分别求满足下列关系的实数 与 的值. 解:(1)根据复数相等的定义,得 解得 , . (1) ; (2) ; (3) . 例4 分别求满足下列关系的实数 与 的值. 解:(2)根据复数相等的定义,得 解得 , . (1) ; (2) ; (3) . 例4 分别求满足下列关系的实数 与 的值. 解:(3)根据复数相等的定义,得 解得 , . 自然数 整数 有理数 实数 负整数 分数 无理数 引入新数