下篇 方略4 进场有底——七个知识板块（教师用书word）-2023大二轮【导学教程】新高考数学专题辅导与训练

方略四　进场有底——七个知识板块 [对应学生用书P166] 板块一　集合、复数、常用逻辑用语与不等式 一、牢记概念与公式 1．全称量词与存在量词 (1)全称量词与存在量词 量词名称 常见量词 表示符号 全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个等 ∀ 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、某个、某些等 ∃ (2)全称量词命题与存在量词命题 命题名称 命题结构 命题简记 全称量词命题 对M中任意一个x，p(x)成立. ∀x∈M，p(x) 存在量词命题 存在M中的元素x，p(x)成立. ∃x∈M，p(x) 2.含一个量词的命题的否定 全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题，它们之间的关系如下表所示： 命题 命题的否定 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，綈p(x) ∃x∈M，p(x) ∀x∈M，綈p(x) 3.不等式的性质 (1)a>b, b>c⇒a>c. (2)a>b, c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc. (3)a>b⇒a＋c>b＋c. (4)a>b, c>d⇒a＋c＞b＋d. (5)a>b>0, c>d＞0⇒ac>bd. (6)a>b>0，n∈N，n>1⇒an＞bn，＞. 4．基本不等式及其变形 (1)根式形式：a＋b≥2(a>0，b>0)，当且仅当a＝b时，等号成立． (2)整式形式：ab≤2(a，b∈R)，a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，(a＋b)2≥4ab(a，b∈R)，2≤(a，b∈R)，以上不等式当且仅当a＝b时，等号成立． (3)分式形式：＋≥2(ab>0)，当且仅当a＝b时，等号成立． (4)倒数形式：a＋≥2(a>0)，当且仅当a＝1时，等号成立；a＋≤－2(a<0)，当且仅当a＝－1时，等号成立． 二、活用定理与结论 1．集合运算的性质及结论 (1)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A. (2)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A. (3)A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U. (4)A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A. 2．复数的几个常见结论 (1)(1±i)2＝±2i； (2)＝i，＝－i； (3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈Z)； (4)ω＝－±i，且ω0＝1，ω2＝ω， ω3＝1,1＋ω＋ω2＝0. 3．充要条件的判断方法 定义法 直接判断“若p则q”与“若q则p”的真假 等价法 利用A⇒B与綈B⇒綈A，B⇒A与綈A⇒綈B，A⇔B与綈B⇔綈A的等价关系进行判断 集合法 若A⊆B，则“x∈A”是“x∈B”的充分条件或“x∈B”是“x∈A”的必要条件； 若A＝B，则“x∈A”是“x∈B”的充要条件 4.简单分式不等式的解法 (1)＞0⇔f(x)g(x)＞0，＜0⇔f(x) g(x)＜0. (2)≥0⇔ ≤0⇔ (3)对于形如>a(或≥a)的分式不等式要采取：移项—通分—化乘积的方法转化为(1)或(2)的形式求解． 5．一元二次不等式的恒成立问题 (1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的条件是 (2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的条件是 板块二　函数与导数 一、牢记概念与公式 1．函数的奇偶性、周期性 (1)奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，对于定义域内的任意x(定义域关于原点对称)，都有f(－x)＝－f(x)成立，则f(x)为奇函数(都有f(－x)＝f(x)成立，则f(x)为偶函数)． (2)周期性是函数在其定义域上的整体性质，一般地，对于函数f(x)，如果对于定义域内的任意一个x的值：若f(x＋T)＝f(x)(T≠0)，则f(x)是周期函数，T是它的一个周期． 2．指数与对数式的运算公式 am·an＝am＋n；(am)n＝amn；loga(MN)＝logaM＋logaN； loga＝logaM－logaN；logaMn＝nlogaM； logaN＝(a＞0且a≠1，b＞0且b≠1，M＞0，N＞0)． 3．指数函数与对数函数的性质 解析式 y＝ax(a＞0且a≠1) y＝logax (a＞0且a≠1) 定义域 R (0，＋∞) 值域 (0，＋∞) R 图象 关于直线y＝x对称 奇偶性 非奇非偶 非奇非偶 单调性 0<a<1时，在R上是减函数； a>1时，在R上是增函数 0<a<1时，在(0，＋∞)上是减函数；a>1时，在(0，＋∞)上是增函数 4.方程的根与函数的零点 (1)方程的根与函数零点的关系 由函数零点的定义可知，函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函教y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标．所以，方程f(x)＝0有实数