上篇 层级2 专题5 第3讲 第1课时 定点、定值问题（教师用书word）-2023大二轮【导学教程】新高考数学专题辅导与训练

 

第三讲　圆锥曲线中的热点问题

 

[对应学生用书P73]

1．(2022·新高考全国卷Ⅰ)已知点A(2,1)在双曲线C：－＝1(a>1)上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0.

(1)求l的斜率；

(2)若tan∠PAQ＝2，求△PAQ的面积．

解　(1)将点A的坐标代入双曲线方程得－＝1，化简得a4－4a2＋4＝0，解得a2＝2，故双曲线C的方程为－y2＝1；

由题易知直线l的斜率存在，设l：y＝kx＋m，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则联立直线l与双曲线C的方程整理得(2k2－1)x2＋4kmx＋2m2＋2＝0，

故x1＋x2＝－，x1x2＝，

kAP＋kAQ＝＋＝＋＝0，

化简得2kx1x2＋(m－1－2k)(x1＋x2)－4(m－1)＝0，

故＋(m－1－2k)－4(m－1)＝0，

即(k＋1)(m＋2k－1)＝0，而直线l不过A点，故k＝－1.

(2)设直线AP的倾斜角为α，由tan∠PAQ＝2，得tan＝，

由2α＋∠PAQ＝π，得kAP＝tan α＝，即＝，

联立＝，及－y＝1得x1＝，y1＝，

代入直线l得m＝，故x1＋x2＝，x1x2＝，

而|AP|＝|x1－2|，|AQ|＝|x2－2|，

由tan∠PAQ＝2，得sin∠PAQ＝，

故S△PAQ＝|AP||AQ|sin∠PAQ＝|x1x2－2(x1＋x2)＋4|＝.

2．(2022·新高考全国卷Ⅱ)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F(2,0)，渐近线方程为y＝±x.

(1)求C的方程；

(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)在C上，且x1＞x2＞0，y1＞0.过P且斜率为－的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．

①M在AB上；②PQ∥AB；③|MA|＝|MB|.

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．

解　(1)由题意可得＝，＝2，

故a＝1，b＝，

因此C的方程为x2－＝1.

(2)设直线PQ的方程为y＝kx＋b(k≠0)，将直线PQ的方程代入C的方程得(3－k2)x2－2kbx－b2－3＝0，

则x1＋x2＝，x1x2＝－>0，

所以3－k2<0，x1－x2＝＝.

设点M的坐标为(xM，yM)，则

Error!

两式相减，得y1－y2＝2xM－(x1＋x2)，而y1－y2＝(kx1＋b)－(kx2＋b)＝k(x1－x2)，

故2xM＝k(x1－x2)＋(x1＋x2)，解得xM＝.

两式相加，得2yM－(y1＋y2)＝(x1－x2)，

而y1＋y2＝(kx1＋b)＋(kx2＋b)＝k(x1＋x2)＋2b，故2yM＝k(x1＋x2)＋(x1－x2)＋2b，解得yM＝＝xM.

因此，点M的轨迹为直线y＝x，其中k为直线PQ的斜率．

若选择①②：

设直线AB的方程为y＝k(x－2)，并设A的坐标为(xA，yA)，B的坐标为(xB，yB)，则Error!，解得xA＝，yA＝.

同理可得xB＝，yB＝－，

此时xA＋xB＝，yA＋yB＝，

而点M的坐标满足Error!解得xM＝＝，yM＝＝，

故M为AB的中点，即|MA|＝|MB|.

若选择①③：

当直线AB的斜率不存在时，点M即为点F(2,0)，此时M不在直线y＝x上，矛盾，

当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝m(x－2)(m≠0)，并设A的坐标为(xA，yA)，B的坐标为(xB，yB)，则Error!，解得xA＝，yA＝.

同理可得xB＝，yB＝－.

此时，xM＝＝，yM＝＝.

由于点M同时在直线y＝x上，故6m＝·2m2，解得k＝m，因此PQ∥AB.

若选择②③：

 设直线AB的方程为y＝k(x－2)，并设A的坐标为(xA，yA)，B的坐标为(xB，yB)，则Error!解得xA＝，yA＝.

同理可得xB＝，yB＝－.

设AB的中点为C(xC，yC)，则xC＝＝，yC＝＝.

由于|MA|＝|MB|，故M在AB的垂直平分线上，即点M在直线y－yC＝－(x－xC)上，

将该直线与y＝x联立，解得xM＝＝xC，yM＝＝yC，即点M恰为AB中点，