专题23二面角、面面角大题专练B卷-2023届高三数学二轮专题复习

中小学教育资源及组卷应用平台 专题23二面角、面面角大题专练B卷 1. 如图，三棱锥的三条侧棱两两垂直，，，，，分别是棱，，的中点． 2. 如图，在直三棱柱中，，，点是棱上的一点，且平面． 证明： 若点是棱上的一点，，求二面角的大小． 3. 如图，在三棱台中，三棱锥的体积为，的面积为，，且平面． 求点到平面的距离； 若，且平面平面，求二面角的余弦值． 4. 如图，在多面体中，和均为等边三角形，是的中点，． 证明：； 若平面平面，求二面角的余弦值． 5. 在如图所示的圆柱中，为圆的直径，，是上的两个三等分点，，，都是圆柱的母线．  求证：平面；  若，求二面角的余弦值． 6. 如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形，，，，平面平面，且是等边三角形，． Ⅰ求证：平面平面 Ⅱ求平面与平面所成锐二面角的大小． 7. 已知棱长均为的平行六面体，，顶点的投影为棱中 点， 求三棱锥的体积 求平面与平面所成角的余弦值． 8. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面是边长为的正三角形，平面平面，． 求证：平行四边形为矩形 若为侧棱的中点，且点到平面的距离为，求平面与平面夹角的余弦值． 答案和解析 1.【答案】证明：因为，是棱的中点，所以． 又三棱锥的三条侧棱两两垂直，且， 所以平面，则． 因为，所以平面， 又平面，所以平面平面． 解：以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 则，． 设平面的法向量为， 则，即 令，则． 由知，平面的一个法向量为， 由图可知，二面角为锐角， 所以． 故二面角的余弦值为．   2.【答案】解：证明：如图所示， 连接，与相交于点，连接， 因为平面，平面平面，平面， 所以， 在中，点为的中点， 所以点为的中点， 所以； 因为，， 所以，又因为底面， 所以，以为原点，以，，为，，轴正方向建立如图所示空间直角坐标系： 则，，，，，， 所以，，，， 设平面的一个法向量为， 则 所以 令，解得，则， 设平面的一个法向量为， 则，所以 令，解得，，则， 所以， 由图可知，二面角为锐二面角， 故二面角的大小为．  3.【答案】解：设点到平面的距离为． 因为，三棱锥的体积为， 所以三棱锥的体积为． 又由，得，解得． 取的中点，连结，则， 由平面平面，平面平面，平面， 知平面，又平面，故B， 又，且，平面，且，是两条相交直线， 从而平面，而平面，故AC， 以为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立如图所示空间直角坐标系， 设，，则，，取中点，则， 四边形是平行四边形，，从而为正三角形， 故，， 又， ， 解得，， 则，，， 则，，，， 设面的法向量，由，得到 取，得，，故， 设面的法向量，由，得到 取，得，，故 故， 即所求二面角的余弦值为．  4.【答案】证明：连接， 因为，且为的中点，所以， 因为，且为的中点，所以， 因为平面，平面，且， 所以平面， 因为，所以，，，四点共面，所以平面， 所以； 解：由可知， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 所以，，两两垂直， 以为坐标原点，，，为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，， 从而，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，， 所以平面的一个法向量为， 平面的一个法向量为， 设二面角为，由图可知为锐角， 则，， 所以二面角的余弦值为．  5.【答案】解：证明：如图，连接，． 因为，是半圆的两个三等分点， 所以又， 所以，，均为等边三角形． 所以，所以四边形为菱形． 所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为，都是圆柱的母线，所以， 又因为平面，平面，所以平面． 又，平面，且， 所以平面平面， 又平面，所以平面． 连接， 是圆柱的母线，所以圆柱的底面， 以原点，分别以，，所在的直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系如图所示， 则，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则，即，令，得， 平面的一个法向量为， 又因为平面的法向量为， 所以． 由图可得二面角为锐二面角， 所以二面角的余弦值为．  6.【答案】证明：如图， 设点，分别是，的中点，连接，，． 是等边三角形，是的中点， ， 平面平面，平面平面， 在直角梯形中，， 平面， 平面， ， 又，，平面， 平面． 是的中位线， ，． 又，， ，且， 四边形是平行四边形， ， 平面， 又平面， 平面平面． Ⅱ解：如图， 以为坐标原点建立空间直角坐标系． 设，则，，． 显然平面的一个法向量为． 设平面的法向量为， ，， 令，则． ，， 平面与平面所成锐二面角的大小为．  7.【答案】解：如图，由底面为菱形，，得正，从而有， 又平面，得，又， 故DE平面，由已知得， 平行六面体知：的到面距离等于长， 所以， 由底面为菱形，，得正，从而有，以为轴，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，，，