四大数学思想(解题有道)专题强化训练（原卷+答案）-2023届高三数学二轮专题复习

冲刺2023年高考二轮 四大数学思想(解题有道)专题强化训练 （原卷+答案） 高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合；二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查．如果说数学知识是数学内容，可用文字和符号来记录和描述，那么数学思想方法则是数学意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决．高考中常用到的数学思想主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想． 数学思想方法与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得，与此同时，它们又直接对知识的形成起到指导作用．因此，在平时的学习中，我们应对数学思想方法进行认真的梳理与总结，逐个认识它们的本质特征，逐步做到自觉地、灵活地将其运用于所需要解决的问题之中． 一　函数与方程思想——求解数学问题最常用的工具 函数思想 方程思想 函数思想的实质是抛开所研究对象的非数学特征，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立各变量之间固有的函数关系，通过函数形式，利用函数的有关性质，使问题得到解决 方程思想的实质就是将所求的量设成未知数，根据题中的等量关系，列方程(组)，通过解方程(组)或对方程(组)进行研究，以求得问题的解决 函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的，是相辅相成的．函数思想重在对问题进行动态的研究，方程思想则是在动中求静，研究运动中的等量关系 应用 1　借助“函数关系”解决问题 在方程、不等式、三角、平面向量、数列、圆锥曲线等数学问题中，将原有隐含的函数关系凸显出来，从而充分运用函数知识或函数方法使问题顺利获解． 例 1 已知复数z的模为1，复数w＝z2＋3z.则在复平面内，复数w所对应的点与点(4，0)的距离的最大值是(　　) A．6 B． C．3 D．2 对 点 训 练 1．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝5，CD＝2，BC＝，·＝0，M，N分别是线段AB，AD上的点，且||＋||＝2，则·的最大值为________． 2．在等差数列{an}中，a1＋a7＝12，当a＋a＋a取得最小值时，a2 020＝________． 应用 2　转换函数关系解决问题 在有关函数形态和曲线性质或不等式的综合问题、恒成立问题中，经常需要求参数的取值范围，如果按照原有的函数关系很难奏效时，不妨转换思维角度，放弃题设的主参限制，挑选合适的主变元，揭示它与其他变元的函数关系，切入问题本质，从而使原问题获解． 例 2 关于x的方程9x＋(4＋a)3x＋4＝0恒有解，求a的取值范围． 对 点 训 练 1.方程m＋＝x有解，则m的最大值为(　　) A．1 B．0 C．－1 D．－2 2．对任意a∈[－1，1]，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立，求x的取值范围． 应用 3　构造函数关系解决问题 在数学各分支形形色色的问题或综合题中，将非函数问题的条件或结论，通过类比、联想、抽象、概括等手段，构造出某些函数关系，在此基础上利用函数思想和方法使原问题获解，这是函数思想解题的更高层次的体现．特别要注意的是，构造时，要深入审题，充分发掘题设中可类比、联想的因素，促进思维迁移． 例 3 若方程x2＋m2＋2x＋3m＝m cos (x＋1)＋7有且仅有1个实数根，则实数m的值可能为(　　) A．2 B．－2 C．4 D．－4 对 点 训 练 若3a＋(ln 2)b≥3b＋(ln 2)a(a，b∈R)，则(　　) A．3a＋b≥1 B．3|a－b|≥2 C．3a－b≥1 D．3|a＋b|≥2 应用 4　转换方程形式解决问题 把题目中给定的方程根据题意转换形式，凸现其隐含条件，充分发挥其方程性质，运用有关方程的解的定理(如根与系数的关系、判别式、实根分布的充要条件)使原问题获解，这是方程思想应用的又一个方面． 例 4 对于函数y＝f(x)(x∈D)，若同时满足下列条件：①f(x)在D内为单调函数；②存在区间[a，b]⊆D，使f(x)在[a，b]上的值域为[a，b]，那么y＝f(x)叫闭函数，若y＝k＋是闭函数，求实数k的取值范围． 对 点 训 练 已知函数y＝(x∈R，且a≠0)的值域为[－1，4]，求常数a，b. 总 结 升 华 函数与方程思想在解题中的应用主要涉及以下知识 (1)函数与不等式的相互转化，把不等式转化为函数，借助函数的图象和性质可解决相关的问题，常涉及不等式恒成立问题、比较大小问题．一般利用函数思想构造新函数，建立函数关系求解． (2)三角函数中有关方程根的计算，平面向量中有关模、夹角的计算，常转化为函数关系，利用函数的性质求解． (3)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，可用函数的观点去处理数列问题，常涉及最值问题或参数范围问题，一般利用二次