第6章 6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示-(教师用书word)【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册(人教A版)

6.3.4　平面向量数乘运算的坐标表示 学习任务目标 　　1.会用坐标表示数乘向量． 　　2.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线． 　　3.掌握三点共线的判断方法. (1)|λa|＝|λ||a|. (2)λa(a≠0)的方向 特别地，当λ＝0时，λa＝0. 当λ＝－1时，(－1)a＝－a. 知识点一　向量数乘运算的坐标表示 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标，即λa＝(λx，λy)，其中a＝(x，y)． [微训练] 已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)．若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为－3. 解析：由题意得2m＋n＝9，m－2n＝－8，解得m＝2，n＝5.所以m－n＝－3. 知识点二　两个向量共线的坐标表示 (1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2)如果用坐标表示，可写为(x1，y1)＝λ(x2，y2)，消去λ，得向量a，b(b≠0)共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0. (3)中点坐标公式 若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点P的坐标为(x，y)，则此公式为线段P1P2的中点坐标公式． [微训练] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a∥b，则＝. (×) (2)若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且x1y1－x2y2＝0，则a∥b. (×) (3)若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且x1y2－x2y1＝0，则a∥b. (√) 2．已知P(2,6)，Q(－4,0)，则线段PQ的中点坐标为(－1,3). 数乘向量的坐标表示 1．已知向量a＝(4,2)，b＝(－2,3)，则2a＋3b＝(　　) A．(2，－13) B．(2，－5) C．(13,2) D．(2,13) D　解析：2a＋3b＝2(4,2)＋3(－2,3)＝(8,4)＋(－6,9)＝(2,13)． 2．已知向量＝(2,4)，＝(0,2)，则＝(　　) A．(－2，－2) B．(2,2) C．(1,1) D．(－1，－1) D　解析：＝(－)＝(－2，－2)＝(－1，－1)． 3．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，＝3，＝2，则点M的坐标为(0,20)，的坐标为(9，－18). 解析：设点M的坐标为(x，y)，所以＝3(1,8)＝(3,24)＝(x＋3，y＋4)，所以解得x＝0，y＝20.所以点M的坐标为(0,20)． 因为＝2(6,3)＝(12,6)，所以＝－＝(12,6)－(3,24)＝(9，－18)． 向量共线的证明与判定 【例1】下列各组向量中，能作为平面内所有向量基底的是(　　) A．e1＝(0,0)，e2＝(1，－2) B．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7) C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10) D．e1＝(2，－3)，e2＝ B　解析：A选项，∵e1＝0，e1∥e2，∴不可以作为基底；B选项，∵－1×7－2×5＝－17≠0，∴e1与e2不共线，故可以作为基底；C选项，3×10－5×6＝0，e1∥e2，故不可以作为基底；D选项，2×－(－3)×＝0，∴e1∥e2，不可以作为基底． 【例2】已知两点A(2，－1)，B(3,1)，与平行且方向相反的向量a＝(　　) A．(1，－2) B．(9,3) C．(－1,2) D．(－4，－8) D　解析：＝(1,2)，与平行且方向相反的向量a＝k(k<0)．D项中，a＝－4. 已知A(－1，－1)，B(1,3)，C(1,5)，D(2,7)，向量与平行吗？直线AB平行于直线CD吗？ 解：∵＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2,4)， ＝(2－1,7－5)＝(1,2)． 又2×2－4×1＝0，∴∥. 又＝(2,6)，＝(2,4)，∴2×4－2×6≠0， ∴A，B，C不共线，∴AB与CD不重合，∴AB∥CD. 利用向量共线求参数 根据向量共线的坐标表示，可得到中点坐标公式，请据此探究下列问题． 探究1：如图，线段P1P2的端点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，点P是直线P1P2上的一点，当＝λ时，点P的坐标是什么？ 提示：P. 探究2：在△ABC中，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，若△ABC的重心为G，试求重心G的坐标． 提示：G. 【例3】已知向量a＝(1,1)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b. (1)若u＝3v，求x； (2)若u∥v，求x，并判断u与v是同向的还是反向的． 解：∵a＝(1,1)，b＝(x,1)， ∴u＝(1,1)＋2(x,1)＝(1,1)＋(2x,2)＝(2x