第6章 6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示-(教师用书word)【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册(人教A版)

6.3.2　平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3　平面向量加、减运算的坐标表示 学习任务目标 　　1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示． 　　2.会用坐标表示平面向量的加、减运算. (1)在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数对(即它的坐标)表示． (2)平面向量基本定理： 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 知识点一　平面向量的正交分解及坐标表示 (1)平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解． (2)平面向量的坐标表示 ①向量的直角坐标 在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底．对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj.这样，平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标． ②向量的坐标表示 在向量a的直角坐标中，x叫做a在x轴上的坐标， y叫做a在y轴上的坐标，a＝(x，y)叫做向量a的坐标表示． ③在向量的直角坐标中，i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)． [微训练] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同． (×) (2)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标． (√) (3)两向量差的坐标与两向量的顺序无关． (×) (4)点的坐标与向量的坐标相同． (×) 2．如果用i，j分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且A(2,3)，B(4,2)，则可以表示为(　　) A．2i＋3j B．4i＋2j C．2i－j D．－2i＋j C　解析：记O为坐标原点，则＝2i＋3j，＝4i＋2j，所以＝－＝2i－j. 知识点二　平面向量的坐标运算 (1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 数学公式 文字语言表述 向量 加法 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和 向量 减法 a－b＝(x1－x2，y1－y2) 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差 (2)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量＝(x2－x1，y2－y1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标． [微训练] 1．已知a＝(3,5)，b＝(－3,2)，则a＋b＝(　　) A．(8，－1) B.(0,7) C．(7,0) D.(－1,8) B　解析：a＋b＝(3,5)＋(－3,2)＝(3－3,5＋2)＝(0,7)． 2．已知点A(1，－2)，B(4,0)，则向量＝(3,2). 解析：＝(4－1,0＋2)＝(3,2). 平面向量的坐标表示 1．已知四边形ABCD为平行四边形，其中A(5，－1)，B(－1,7)，C(1,2)，则顶点D的坐标为(　　) A．(－7,0) B．(7,6) C．(6,7) D．(7，－6) D　解析：设D(x，y)，因为＝，所以(x－5，y＋1)＝(2，－5)，所以x＝7，y＝－6. 2．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，向量a＝(1,2)，b＝(1，－2)，c＝(1,2).(用坐标表示) 3．设i，j分别为x轴、y轴正方向的单位向量，已知＝2i，＝4i＋2j，则的坐标为(2,2). 解析：由已知得＝(2,0)，＝(4,2)，∴＝－＝(2,2)． 平面向量的坐标运算 根据平面向量加法、减法的坐标运算，探究下列问题． 探究1：平面向量的加、减运算结果仍然是向量，坐标运算的结果是什么？ 提示：向量的坐标． 探究2：向量的线性运算顺序是否和实数的运算顺序类似？ 提示：类似．先算数乘，再算加减，有括号的先算括号里的． 【例1】若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)． 求：(1)a－c； (2)a＋b＋c. 解：(1)a－c＝(1＋1,1－2)＝(2，－1)． (2)a＋b＋c＝(1＋1－1,1－1＋2)＝(1,2)． 【例2】已知A(1，－2)，B(2,1)，C(3,2)和D(－2,3)，试用坐标来表示＋＋. 解：∵＝(－3,5)，＝(－4,2)， ＝(－5,1)，∴＋＋＝(－3,5)＋(－4,2)＋(－5,1)＝(－12,8)． 【类题通法】 向量坐标运算的方法 (1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差运算法则进行运算． (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算． 1．已知点B(1,0)是向量a的终点，向