6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示（教师WORD）-2021-2022学年高一数学人教A版必修第二册【创新设计】同步学考笔记

6.3.2　平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3　平面向量加、减运算的坐标表示 课标要求 素养要求 借助平面直角坐标系掌握平面向量的正交分解及坐标表示，会用坐标表示平面向量的加减运算. 借助平面直角坐标系及平面向量基本定理，学会平面向量的坐标表示及加减运算，体会数学抽象及数学运算素养. 自主梳理 1.平面向量正交分解的定义 把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解. 2.平面向量的坐标表示 (1)向量的坐标表示 (2)向量坐标与点的坐标的关系 在平面直角坐标系中，以原点O为起点作＝a，设＝xi＋yj，则向量的坐标(x，y)就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标(x，y)也就是向量a的坐标. 3.平面向量加、减的坐标运算 (1)两个向量和(差)的坐标表示 两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差).坐标表示：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2). (2)向量坐标的几何意义 如图，设点A(x1，y1)，点B(x2，y2)，坐标原点为O，则 ＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，所以＝－＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1). 结论：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. (1)向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关.(2)向量平移前后，其坐标不变.　　　 自主检验 1.思考辨析，判断正误 (1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同.(×) (2)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标.(√) (3)两向量差的坐标与两向量的顺序无关.(×) (4)点的坐标与向量的坐标相同.(×) 提示　(1)对同一个向量，无论终点位置在哪里，坐标相同. (3)根据两向量差的运算，两向量差的坐标与两向量的顺序有关. (4)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标等于终点的坐标. 2.已知向量a＝(1，2)，b＝(3，1)，则b＋a＝(　　) A.(－2，1) B.(2，－1) C.(2，0) D.(4，3) 答案　D 解析　b＋a＝(3，1)＋(1，2)＝(4，3). 3.若＝(3，5)，＝(－1，2)，则等于(　　) A.(4，3) B.(－4，－3) C.(－4，3) D.(4，－3) 答案　A 解析　＝－＝(3，5)－(－1，2)＝(4，3). 4.已知点A(2，1)，B(－2，3)，O为坐标原点，且＝，则点C的坐标为________. 答案　(0，4) 解析　设C(x，y)，则＝(x＋2，y－3)，＝(2，1).由＝，则x＝0，y＝4. 题型一　平面向量的坐标表示 【例1】　(1)已知e1，e2分别表示x轴和y轴方向上的单位向量，且a＝4e1－3e2，则向量a的坐标为(　　) A.(4e1，3e2) B.(4e1，－3e2) C.(4，3) D.(4，－3) (2)已知O是坐标原点，点A在第二象限，||＝6，∠xOA＝150°，向量的坐标为________. 答案　(1)D　(2)(－3，3) 解析　(1)由a＝4e1－3e2，得a＝(4，－3). (2)设点A(x，y)，则＝(x，y)， ∵x＝||cos 150°＝6cos 150°＝－3， y＝||sin 150°＝6sin 150°＝3. ∴点A(－3，3)，则＝(－3，3). 思维升华　1.平移法：把向量的起点移至坐标原点，终点坐标即为向量的坐标. 2.求差法：先求出这个向量的始点、终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标即得该向量的坐标. 【训练1】　已知边长为2的正三角形ABC，顶点A在坐标原点，AB边在x轴上，C在第一象限，D为AC的中点，分别求向量，，的坐标. 解　如图所示，正三角形ABC的边长为2. 则点A(0，0)，B(2，0)，C(1，)，又点D是AC中点，知D， 所以＝(2，0)，＝， ＝(1－2，－0)＝(－1，). 题型二　平面向量的坐标运算 【例2】　已知点A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，设＝a，＝b，＝c，且＝c，＝b. (1)求a＋b－c； (2)求点M，N的坐标及向量的坐标. 解　由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8). (1)a＋b－c＝(5，－5)＋(－6，－3)－(1，8)＝(－2，－16). (2)设O为坐标原点. ∵＝－＝c， ∴＝c＋＝(1，8)＋(－3，－4)＝(－2，4)， ∴M(－2，4). 又∵＝－＝b， ∴＝b＋＝(－6，－3)＋(－3，－4)＝(－9，－7)， ∴N(－9，－7)， ∴＝(－9，－7)－(－2，4)＝(－7，－11). 思维升华　平面向量坐标运算的技巧 (1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和