第6章 6.3.1 平面向量基本定理-(教师用书word)【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册(人教A版)

6.3　平面向量基本定理及坐标表示 6.3.1　平面向量基本定理 学习任务目标 1.理解平面向量基本定理的内容，了解基底的含义． 2.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题. (1)共线向量定理：向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa. (2)向量的加法法则： 三角形法则 平行四边形法则 ＋＝ ＋＝ 首尾相接，连首尾 同一起点，对角线 知识点　平面向量基本定理 (1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. (2)基底：若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 拓展：①e1，e2是同一平面内的两个不共线的向量，{e1，e2}的选取不唯一，即一个平面可以有多个基底． ②基底{e1，e2}确定后，实数λ1，λ2是唯一确定的． [微训练] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)平面内任意两个向量都可以作为平面内所有向量的一个基底． (　　) ×　提示：只有不共线的两个向量才可以作为基底． (2){0，e}可以作为基底． (　　) ×　提示：由于0和任意向量共线，故{0，e}不可作为基底． (3)平面向量基本定理中基底的选取是唯一的． (　　) ×　提示：基底的选取不是唯一的，不共线的两个向量都可作为基底． (4)若e1，e2是同一平面内两个不共线向量，则λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2为实数)可以表示该平面内所有向量． (√) 2．设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中不能作为基底的是(　　) A．{e1，e2} B.{e1＋e2,3e1＋3e2} C．{e1,5e2} D.{e1，e1＋e2} B　解析：因为e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，所以{e1，e2}可以作为一个基底；e1,5e2也是两个不共线的向量，所以{e1,5e2}可以作为一个基底；e1与e1＋e2是两个不共线的向量，所以{e1，e1＋e2}可以作为一个基底；3e1＋3e2＝3(e1＋e2)，即e1＋e2与3e1＋3e2共线，所以它们不能作为一个基底． 3．若AD是△ABC的中线，已知＝a，＝b.若{a，b}为基底，则＝(a＋b). 对基底概念的理解 1．设{e1，e2}是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是(　　) A．e1＋e2和e1－e2 B．3e1－4e2和6e1－8e2 C．e1＋2e2和2e1＋e2 D．e1和e1＋e2 B　解析：选项B中，6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，∴6e1－8e2与3e1－4e2共线，∴不能作为基底；选项A，C，D中两向量均不共线，可以作为基底．故选B. 2．(多选)如图，设O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，给出下列向量组，其中可以作为该平面内所有向量的基底的是(　　) A.与 B.与 C.与 D.与 AC　解析：选项B中，与共线，选项D中，与共线，选项A，C中，两向量均不共线．由基底的定义可知AC选项正确． 3．如果e1，e2是平面内所有向量的一个基底，那么(　　) A．若实数m，n使得me1＋ne2＝0，则m＝n＝0 B．空间任一向量a可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2，其中λ1，λ2为实数 C．对于实数m，n，me1＋ne2不一定在此平面上 D．对于平面内的某一向量a，存在两对以上的实数m，n，使a＝me1＋ne2 A　解析：选项B中应为“平面内任一向量”，选项C中me1＋ne2一定在此平面上，选项D中，m，n应是唯一的． 用基底表示向量 请根据平面向量基本定理，探究下列问题． 探究1：若向量a与e1或e2共线，a还能用a＝λ1e1＋λ2e2表示吗？ 提示：当向量a与e1共线时，a＝λ1e1＋0e2.当向量a与e2共线时，a＝0e1＋λ2e2. 探究2：当a是零向量时，a还能用a＝λ1e1＋λ2e2表示吗？ 提示：a＝0e1＋0e2. 探究3：设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，在a＝λ1e1＋λ2e2中，λ1，λ2是否唯一？ 提示：假设a＝μ1e1＋μ2e2，则λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2， 即(λ1－μ1)e1＋(λ2－μ2)e2＝0，所以λ1－μ1＝0，且λ2－μ2＝0.所以λ1，λ2唯一． 【例1】如图所示，||＝||＝1，||＝，∠AOB＝60°，OB⊥OC.设＝x＋y，则(　　) A．x＝－2，y＝－1 B.x＝－2，y＝1 C．x＝2，y＝－1 D.x＝2，y＝1 B　解析：方法一：过点C作CD∥OB交AO的延长线于点D，连接BC(图略)．由||＝1，||＝，∠AOB＝60°，OB⊥OC，知∠COD＝30°.在Rt