第6章 6.2.4 第1课时 向量的数量积-(教师用书word)【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册(人教A版)

6.2.4　向量的数量积 第1课时　向量的数量积 学习任务目标 1.了解平面向量数量积的物理背景． 2.掌握平面向量数量积的定义，理解投影向量． 3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角. (1)如果一个物体在力F 的作用下产生位移s，那么力F 所做的功W＝|F||S|cos θ. (2)功是一个矢量还是标量？它的大小由哪些量确定？ 提示：标量，大小由力和位移两个向量来确定． 知识点一　向量的夹角 1．夹角：已知两个非零向量a，b(如图)，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角． (1)当θ＝0时，a与b同向. (2)当θ＝π时，a与b反向. 2．垂直：如果a与b的夹角是，我们说a与b垂直，记作a⊥b. [微训练] 在平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，则与的夹角为(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° C　解析：如图，与的夹角为∠ABC＝120°. 知识点二　向量的数量积 1．向量的数量积的概念 条件 非零向量a与b，a与b的夹角为θ 结论 数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积) 记法 记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ 规定 零向量与任一向量的数量积为0 2．投影向量 (1)如图(1)，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，我们考虑如下的变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影 向量． (2)如图(2)，在平面内任取一点O，作＝a，＝b.过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量．设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，那么＝|a|cos θ e. 　　　 　　　　 图(1)　　　　　　图(2) [微训练] 已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为，则a·b等于(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 A　解析：a·b＝1×2×cos ＝1. 知识点三　向量数量积的重要性质 设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 (1)a·e＝e·a＝|a|cos θ. (2)a⊥b⇔a·b＝0. (3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.特别地，a·a＝|a|2或|a|＝. (4)|a·b|≤|a||b|. [微训练] 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)两个向量的数量积仍然是向量． (×) (2)若a·b＝0，则a＝0或b＝0. (×) (3)a，b共线⇔a·b＝|a||b|. (×) (4)若a·b＝b·c，则一定有a＝c. (×) (5)两个向量的数量积是一个实数，向量的加法、减法、数乘运算的运算结果是向量． (√) 平面向量数量积的定义及运算 1．在等腰直角三角形ABC中，若∠C＝90°，AC＝，则·的值等于(　　) A．－2 B．2 C．－2 D．2 B　解析：·＝||||cos ∠ABC＝2××cos 45°＝2. 2．已知在等腰直角三角形ABC中，D是斜边AB的中点，则CD和AC的夹角为45°，和的夹角为135°. 解析：在等腰直角三角形ABC中，D是斜边AB的中点，则CD⊥AB，CD和AC的夹角为45°，和的夹角为135°. 与向量的模有关的问题 【例1】已知向量|a|＝2，向量a，c的夹角是，a·c＝2，则|c|＝2. 解析：a·c＝|a|·|c|·cos ＝2·|c|·＝2，∴|c|＝2. 【例2】已知x＝1是方程x2＋|a|x＋a·b＝0的根，且a2＝4，a与b的夹角为120°.求向量b的模． 解：因为a2＝4，所以|a|2＝4，即|a|＝2. 将x＝1代入原方程可得1＋2×1＋a·b＝0， 所以a·b＝－3. 设a与b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|cos θ＝2|b|·cos 120°＝－3，解得|b|＝3. 1．已知a·b＝－12，|a|＝4，a与b的夹角为135°，则|b|等于 (　　) A．12 B．3 C．3 D．6 D　解析：由题意，a·b＝|a||b|cos 135°＝4×|b|×＝－12，解得|b|＝6.故选D. 2．已知e1，e2是平面单位向量，且e1·e2＝.若平面向量b满足b·e1＝b·e2＝1，则|b|＝. 解析：设e1与e2的夹角为θ， 则e1·e2＝|e1||e2|cos θ＝cos θ＝. 又0°≤θ≤180°，∴θ＝60°. ∵b·(e1－e2)＝0，∴b与e1，e2的夹角均为30°， ∴b·e1＝|b||e1|cos 30°＝1， 从而|b|＝＝. 向量的夹角及应用 请根