第6章 6.2.3 第2课时 共线向量定理-(教师用书word)【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册(人教A版)

第2课时　共线向量定理 学习任务目标 　　1.理解并掌握向量共线定理． 　　2.会用向量共线定理处理向量共线、点共线问题. (1)0与任何向量共线． (2)已知向量a与b共线，且向量b的长度是向量a的长度的μ倍，则|b|＝μ|a|. 知识点　共线向量定理 设a是非零向量，如果有一个实数λ，使b＝λa，那么b与a是共线向量． 反之，如果b与a是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b＝λa. 实质：向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa. [微训练] 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)若向量b与a共线，则存在唯一的实数λ使b＝λa. (×) (2)若b＝λa，则a与b共线． (√) (3)若λa＝0，则a＝0. (×) 向量共线的判断 1．下列选项中，a与b不一定共线的是(　　) A．a＝5e1－e2，b＝2e2－10e1 B．a＝4e1－e2，b＝e1－e2 C．a＝e1－2e2，b＝e2－2e1 D．a＝3e1－3e2，b＝－2e1＋2e2 C　解析：选项A，b＝－2a；选项B，b＝a；选项D，b＝－a.只有选项C中a与b不共线． 2．已知向量a，b不共线，若＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，则四边形ABCD是(　　) A．梯形 B．平行四边形 C．矩形 D．菱形 A　解析：＝＋＋＝(a＋2b)－(4a＋b)－(5a＋3b)＝－8a－2b＝2， ∴∥且||≠||，∴四边形ABCD为梯形． 3．(多选)向量a＝2e，b＝－6e，则下列说法正确的是(　　) A．a∥b B．向量a，b方向相反 C．|a|＝3|b| D．b＝－3a ABD　解析：因为a＝2e，b＝－6e，所以b＝－3a，故D正确；由向量共线定理知，A正确；－3<0，a与b方向相反，故B正确；由上可知|b|＝3|a|，故C错误．故选ABD. 【类题通法】 1．由向量共线定理知，只要找到一个实数λ，使得b＝λa，即可得到b∥a.当b＝0时，λ为任意实数． 2．对任意两个向量a，b，若存在不全为0的实数对(λ，μ)，使得λa＋μb＝0，则向量a∥b. 利用向量共线定理求参数 根据向量共线定理，探究下列问题． 探究1：判断、证明两向量共线的依据是什么？ 提示：两向量存在实数倍关系，即根据向量共线定理寻求唯一的实数λ，使得a＝λb. 探究2：已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解．若两向量不共线呢？ 提示：两向量不共线，必有向量的系数为零，利用待定系数法建立方程，解方程从而求得λ的值． 【例1】已知向量e1，e2不共线，a＝ke1＋e2，b＝e1＋ke2.若a与b共线，则k＝(　　) A．±1 B．1 C．－1 D．0 A　解析：因为a与b共线，所以a＝λb，即ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)， 所以解得k＝±1. 【例2】已知a与b是两个不共线的向量，向量b－ta，a－b共线，求实数t的值． 解：由a，b不共线可知a－b≠0. 因为向量b－ta，a－b共线， 所以存在实数λ使得 b－ta＝λ，即a＝b， 即解得t＝. 【类题通法】 判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一的实数λ，使得a＝λb(b≠0)．而已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解．若两向量不共线，必有向量的系数为零，利用待定系数法建立方程，解方程从而求得λ的值． 1．设e1，e2是不共线向量，若向量a＝3e1＋5e2与向量b＝me1－3e2共线，则m＝(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ A　解析：因为a∥b，所以存在实数λ，使得b＝λa，即me1－3e2＝λ(3e1＋5e2)． 因为e1，e2是不共线向量，所以 解得m＝－. 2．已知＝＋.设＝λ，那么实数λ的值是. 解析：因为＝λ，所以－＝λ(－)，即＝λ＋(1－λ). 又因为＝＋，所以λ＝. 证明三点共线 根据共线向量定理，探究以下问题． 已知O，A，B是不共线的三点，且＝m＋n(m，n∈R)． 探究1：若m＋n＝1，A，P，B三点是否共线？ 提示：∵m＋n＝1， ∴＝m＋(1－m)＝＋m(－)， ∴－＝m(－)，即＝m， ∴与共线． 又∵与有公共点B， ∴A，P，B三点共线． 探究2：若A，P，B三点共线，则m，n满足什么条件？ 提示：若A，P，B三点共线，则∥， ∴存在唯一一个实数λ，使得＝λ， ∴－＝λ(－)． 又∵＝m＋n， ∴－＝m＋(n－1)， ∴m＋(n－1)＝λ－λ， ∴(m－λ)＋(n＋λ－1)＝0. ∵O，A，B是不共线的三点， ∴，不共线， ∴ ∴m＋n＝1. 【例3】如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，＝，＝a，＝b. (1)用a，b表示向量，，； (2)求证：B，