第6章 6.2.3 第1课时 向量的数乘运算-(教师用书word)【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册(人教A版)

6.2.3　向量的数乘运算 第1课时　向量的数乘运算 学习任务目标 　　1.了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义． 　　2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算. 1．向量的三角形法则＋＝. 特点：首尾相接，连首尾． 2．向量的平行四边形法则 ＋＝. 特点：同一起点，对角线. 3．向量减法的三角形法则 a－b＝－＝. 特点：共起点，连终点，方向指向被减向量. 知识点一　向量的数乘运算 一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a|； (2)λa(a≠0)的方向 特别地，当λ＝0或a＝0时，0a＝0或λ0＝0. [微训练] 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)实数λ与向量a的积还是向量． (√) (2)3a与a的方向相同，－3a与a的方向相反． (√) (3)若ma＝mb，则a＝b. (×) (4)若λa＝0，则a＝0. (×) (5)|λa|＝λ|a|. (×) 知识点二　向量数乘的运算律及线性运算 1．向量数乘的运算律 设λ，μ为实数，那么 (1)λ(μa)＝(λμ)a； (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa； (3)λ(a＋b)＝λa＋λb. 特别地，我们有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb. 2．向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．向量线性运算的结果仍是向量．对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b. [微训练] 1．6×(　　) A．化简结果为2a B．与向量a同向 C．与向量a反向 D．其长度为2 C　解析：6×＝－2a，与向量a反向，其长度为2|a|. 2．若向量x，a满足2x－3(x－2a)＝0，则向量x＝6a. 解析：因为2x－3(x－2a)＝0， 所以－x＋6a＝0，x＝6a. 数乘向量的概念 1．已知λ∈R，则下列结论正确的是(　　) A．|λa|＝λ|a| B．|λa|＝|λ|a C．|λa|＝|λ||a| D．|λa|>0 C　解析：对于选项A，当λ<0时，|λa|≠λ|a|；对于选项B，|λa|是实数，|λ|a是向量，故|λa|≠|λ|a；对于选项D，当λ＝0时，|λa|＝0.只有选项C正确． 2．若|a|＝1，|b|＝2，且a与b方向相同，则下列关系式正确的是(　　) A．b＝2a B.b＝－2a C．a＝2b D.a＝－2b A　解析：因为a，b方向相同，故b＝2a. 3．设a是非零向量，λ是非零实数，则下列结论中正确的是(　　) A．a与－λa的方向相反 B．|λa|≥|a| C．a与λ2a的方向相同 D．|λa|＝λa C　解析：当λ>0时，a与－λa的方向相反；当λ<0时，a与－λa的方向相同，故A不正确．当|λ|≥1时，|λa|≥|a|；当|λ|<1时，|λa|<|a|，故B不正确．因为λ2>0，所以a与λ2a的方向相同，C正确．|λa|是实数，λa是向量，二者不相等，故D不正确． 【类题通法】 一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a|； (2)λa(a≠0)的方向 向量的线性运算 根据数乘向量的运算律与向量的运算，探究以下问题． 探究1：实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在向量的数乘运算中适用吗？ 提示：适用． 探究2：在向量的数乘运算中，“同类项”“公因式”指的是什么？ 提示：“同类项”“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数． 【例1】化简下列各式： (1)3(6a＋b)－9； (2)－2； (3)2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a. 解：(1)原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a. (2)原式＝－a－b＝a＋b－a－b＝0. (3)原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝b－c. 【例2】已知向量为a，b，未知向量为x，y，向量a，b，x，y满足关系式3x－2y＝a，－4x＋3y＝b，求向量x，y. 解： 由①×3＋②×2，得x＝3a＋2b， 代入①得3×(3a＋2b)－2y＝a， 所以y＝4a＋3b. 所以x＝3a＋2b，y＝4a＋3b. (多选)已知m，n是实数，a，b是向量，则下列命题中正确的有(　　) A．m(a－b)＝ma－mb B．(m－n)a＝ma－na C．若ma＝mb，则a＝b D．若ma＝na，则m＝n AB　解析：A正确，B正确．C错误，由ma＝mb得m(a－b)＝0，当m＝0时也成立，故推不出a＝b.D错误，由ma＝na得(m－n)a＝0，当a＝0时也成立，故推不出m＝n. 用已