第6章 6.2.1 向量的加法运算-(教师用书word)【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册(人教A版)

6.2　平面向量的运算 6.2.1　向量的加法运算 学习任务目标 　　1.理解并掌握向量加法的概念． 　　2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则． 　　3.了解向量加法的交换律和结合律. (1)如图，某人从点A到点B，再从点B改变方向到点C，则两次位移的和是. (2)三个力如图，则F1＋F2＝F. 知识点一　向量加法的定义及运算法则 定义 求两个向量和的运算，叫做向量的加法 三角形 法则 前提 已知非零向量a，b 作法 在平面内任取一点A，作＝a，＝b 结论 向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝ 图形 平行四 边形法 则 前提 已知不共线的两个向量a，b 作法 在平面内任取一点O，以同一点O为起点的两个已知向量a，b，以OA，OB为邻边作▱OACB 结论 以O为起点的向量(OC是▱OACB的对角线)就是向量a与b的和 图形 规定 零向量与任一向量a都有a＋0＝0＋a＝a [微训练] 1．在△ABC中，＝a，＝b，则a＋b等于(　　) A. B. C. D. D　解析：＋＝. 2．化简：＋＋＝(　　) A. B. C.0 D. D　解析：＋＋＝＋＝. 知识点二　向量的三角不等式及运算律 1．三角不等式 一般地，我们有|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b方向相同时等号成立． 2．向量加法的运算律 交换律 a＋b＝b＋a 结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) [微训练] 1．下列结论中，正确的是(　　) A．0＋0＝0 B．对于任意向量a，b，a＋b＝b＋a C．对于任意向量a，b，|a＋b|>0 D．若向量∥，且||＝1，||＝2 022，则|＋|＝2 023 B　解析：由向量加法的运算律可知B正确． 2．化简：＋＝. 解析：＋＝＋＝. 利用三角形法则和平行四边形法则作向量 1．(1)如图①，已知向量a，b，求作向量a＋b. (2)如图②，已知向量a，b，c，求作向量a＋b＋c. 　　　　 图①　　　　　　　图② 解：(1)作法：在平面内任意取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b.如图所示． (2)在平面内任意取一点O，作＝a，＝b，＝c，则＝a＋b＋c.如图所示． 2．(1)如图①所示，求作向量a＋b. (2)如图②所示，求作向量a＋b＋c. 　　　　　　 图①　　　　　图② 解：(1)首先作向量＝a，然后作向量＝b，则向量＝a＋b.如图所示． (2)方法一(三角形法则)：如图所示，首先在平面内任取一点O，作向量＝a，再作向量＝b，则得向量＝a＋b，然后作向量＝c，则向量＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c即为所求． 方法二(平行四边形法则)：如图所示， 首先在平面内任取一点O，作向量＝a，＝b，＝c， 以OA，OB为邻边作▱OADB，连接OD， 则＝＋＝a＋b. 再以OD，OC为邻边作▱ODEC，连接OE， 则＝＋＝a＋b＋c即为所求． 向量加法运算律的应用 请根据向量加法运算律并结合下面的材料，探究以下问题． 实数的加法满足交换律、结合律，即对于a，b，c∈R，有a＋b＝b＋a，a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c.探究向量a，b，c的加法． 探究1：实数的加法满足交换律、结合律，向量的加法是否也满足交换律和结合律呢？ 提示：向量的加法满足加法交换律、结合律． 探究2：怎样进行多个向量的加法运算？ 提示：多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行． 【例1】(1)化简： ①＋＋； ②＋＋＋＋. (2)如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式： ①＋＋； ②＋＋＋. (1)解：①＋＋＝＋＋＝0. ②＋＋＋＋＝＋＋＋＋＝0. (2)解：①＋＋＝＋＋＝＋＋＝＋＝. ②＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝0. 【类题通法】 向量求和的注意点 (1)三角形法则对于两个向量共线时也适用． (2)两个向量的和向量仍是一个向量． (3)平行四边形法则对于两个向量共线时不适用． 1．＋＋＝(　　) A. B. C. D. C　解析：＋＋＝＋＋＝. 2．如图，在正六边形ABCDEF中，＋＋＝(　　) A.0 B. C. D. D　解析：＋＋＝＋＋＝＋＝. 向量加法的实际应用 【例2】如图，用两根绳子把重10 N的物体G吊在水平杆子AB上，∠ACG＝150°，∠BCG＝120°，求A和B处所受力的大小(绳子的质量忽略不计)． 解：如图所示，设，分别表示A，B所受的力，10 N的重力用表示，则＋＝.易得∠ECG＝180°－150°＝30°，∠FCG＝180°－120°＝60°. 所以||＝||·cos 30°＝10×＝5， ||＝||·cos 60°＝10