第6章 6.4.3 第3课时 余弦定理、正弦定理应用举例-(教师用书word)【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册(人教A版)

第3课时　余弦定理、正弦定理应用举例 学习任务目标 　　1.进一步熟悉余弦定理、正弦定理． 　　2.了解常用的测量相关术语． 　　3.能运用余弦定理、正弦定理等知识和方法解决有关距离、高度、角度的实际问题. (1)正弦定理： ＝＝＝2R. (2)三角形中的结论： A＋B＋C＝π；sin(A＋B)＝sin C； cos(A＋B)＝－cos C； sin ＝cos ； cos ＝sin . 知识点　测量中的几个有关术语 1．基线的概念与选择原则 (1)定义 在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线． (2)性质 为使测量具有较高的精确度，应根据实际需要选取合适的基线长度.一般来说，基线越长，测量的精确度越高. 2．测量中的有关角的概念 (1)仰角和俯角 与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫做仰角，目标视线在水平视线下方时叫做俯角，如图所示． (2)方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如点B的方位角为α(如图1所示)． (3)方位角的其他表示——方向角 ①正南方向：指从原点O出发的经过目标的射线与正南的方向线重合，即目标在正南的方向线上．依此可类推正北方向、正东方向和正西方向． ②东南方向：指经过目标的射线是正东和正南的夹角平分线(如图2所示)． [微训练] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＝β. (√) (2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为. (×) (3)若点P在点Q的北偏东44°，则点Q在点P的东偏北46°. (×) (4)方位角大小的范围是(0，π)，方向角大小的范围是. (×) 2．如图，要测量一水塘两侧A，B两点间的距离，其方法是先选定适当的位置C，用经纬仪测出角α，再分别测出AC，BC的长b，a，则可求出A，B两点间的距离．若测得AC＝400 m，BC＝600 m，∠ACB＝60°，则A，B两点间的距离为200m. 解析：在△ABC中，由余弦定理得 AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos ∠ACB， ∴AB2＝4002＋6002－2×400×600cos 60°＝280 000. ∴AB＝200 m. 即A，B两点间的距离为200 m. 不能到达的两点间的距离问题 1．如图，在河岸AC测量河的宽度BC，测量下列四组数据，较适宜的是(　　) A．γ，c，α B．b，c，α C．c，α，β D．b，α，γ D　解析：a，c均隔河，故不易测量，测量b，α，γ更合适． 2．为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B(如图)，要测量A，B两点的距离．测量人员在岸边定出基线BC，测得BC＝50 m，∠ABC＝105°，∠BCA＝45°，可以计算出A，B两点的距离为(　　) A．50 m B．50 m C．25 m D． m A　解析：由题意知∠CAB＝180°－∠ABC－∠BCA＝30°. 由正弦定理＝， 得AB＝＝＝50 (m)． 3．在相距2千米的A，B两点处测量目标点C.若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离为千米． 解析：∠ACB＝180°－75°―60°＝45°， 由正弦定理得＝， 所以AC＝＝. 【类题通法】 三角形中与距离有关问题的求解策略 (1)解决与距离有关的问题，若所求的线段在一个三角形中，则直接利用正、余弦定理求解即可；若所求的线段在多个三角形中，要根据条件选择适当的三角形，再利用正、余弦定理求解． (2)解决与距离有关的问题的关键是转化为求三角形中的边，分析所解三角形中已知哪些元素，还需要求出哪些元素，灵活应用正、余弦定理来解决． 测量高度问题 【例1】如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D.现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB. 解：在△BCD中，∠CBD＝π－α－β. 由正弦定理得＝， 所以BC＝＝. 在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝. 【例2】济南泉城广场上的泉标模仿的是隶书“泉”字，其造型流畅别致，是济南的标志和象征．李明同学想测量泉标的高度，他在广场的A点测得泉标顶端的仰角为60°，然后沿着泉标底部方向前进15.2 m，到达B点，又测得泉标顶部仰角为80°.你能帮助李明同学求出泉标的高度吗？(取≈1.732，sin 20°≈0.342，sin 80°≈0.985.中间结果精确到0.1 m，最终结果精确到1 m) 解：如图，点C，D分别为泉标的底部和顶端． 依题意，∠BAD＝60°，∠CBD＝80°，AB＝15.2 m， 则∠ABD＝100°，∠ADB＝80°－60°＝20°.