第6章 6.4.3 第1课时 余弦定理-(教师用书word)【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册(人教A版)

6.4.3　余弦定理、正弦定理 第1课时　余弦定理 学习任务目标 　　1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题． 　　2.利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题. (1)向量的减法：－＝. 特征：相同起点，尾尾相连，指向被减向量． (2)向量的数量积：a·b＝|a||b|cos θ(θ为a，b的夹角)． (3)证明三角形全等的方法：ASA、AAS、SAS、SSS. 知识点一　余弦定理 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有： 余弦 定理 语言 叙述 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 公式 表达 a2＝b2＋c2－2bccos A， b2＝a2＋c2－2accos B， c2＝a2＋b2－2abcos C 余弦 定理 推论 cos A＝， cos B＝， cos C＝ [微训练] 1．在△ABC中，符合余弦定理的是(　　) A．c2＝a2＋b2－2abcos C B．c2＝a2－b2－2bccos A C．b2＝a2－c2－2bccos A D．cos C＝ A　解析：由余弦定理及其推论知只有A正确．故选A. 2．在△ABC中，若a2－c2＋b2＝ab，则cos C＝. 解析：∵a2－c2＋b2＝ab，∴c2＝a2＋b2－ab. 又∵c2＝a2＋b2－2abcos C，∴2cos C＝1.∴cos C＝. 知识点二　解三角形 一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. [微训练] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素． (×) (2)在△ABC中，已知两边及夹角时，△ABC不一定唯一． (×) (3)当b2＋c2－a2>0时，三角形ABC为锐角三角形． (×) (4)若△ABC为锐角三角形，则b2＋c2－a2>0. (√) 2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝，c＝2，cos A＝，则b＝(　　) A． B． C．2 D．3 D　解析：由余弦定理得5＝b2＋4－2×b×2×，解得b＝3(负值舍去)． 已知两边及一角解三角形 1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝4，b＝4，C＝30°，则c2＝(　　) A．32－16 B．32＋16 C．32＋16 D．48 A　解析：由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝42＋42－2×4×4×＝32－16. 2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，C＝60°，a＝4b，c＝，则b＝(　　) A．1 B．2 C．3 D． A　解析：由余弦定理知()2＝a2＋b2－2abcos 60°. 因为a＝4b，所以13＝16b2＋b2－2×4b×b×，解得b＝1(负值舍去)．故选A. 3．在△ABC中，cos ＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝(　　) A．4 B． C． D．2 A　解析：因为cos C＝2cos2－1＝2×2－1＝－，所以AB2＝BC2＋AC2－2BC·AC·cos C＝1＋25－2×1×5×＝32，所以AB＝4 . 4．△ABC中，已知a＝2，b＝4，C＝60°，则A＝30°. 解析：因为c2＝a2＋b2－2abcos C＝22＋42－2×2×4×cos 60°＝12，所以c＝2. 因为cos A＝＝＝，所以A＝30°. 已知三边关系解三角形 根据余弦定理及其推论，探究下面问题． 探究1：在△ABC中，已知a＝2，b＝6＋2，c＝4，求A，B，C. 提示：根据余弦定理， 得cos A＝＝ ＝. ∵A∈(0，π)，∴A＝， cos C＝＝ ＝. ∵C∈(0，π)，∴C＝. ∴B＝π－A－C＝π－－＝， ∴A＝，B＝，C＝. 探究2：在△ABC中，已知a∶b∶c＝2∶∶(＋1)，求△ABC中各角的度数． 提示：已知a∶b∶c＝2∶∶(＋1)，令a＝2k，b＝k，c＝(＋1)k(k＞0)，由余弦定理的推论， 得cos A＝＝＝. ∵0°<A<180°，∴A＝45°. cos B＝＝＝. ∵0°<B<180°，∴B＝60°. ∴C＝180°－A－B＝180°－45°－60°＝75°. 【例1】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b2＝ac，c＝2a，则cos C＝(　　) A. B.－ C. D.－ B　解析：由题意得，b2＝ac＝2a2，即b＝a， ∴cos C＝＝＝－. 【例2】在△ABC中，a