9.4 向量的应用-2022-2023学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（苏教版2019必修第二册）

9.4 向量的应用 【考点梳理】 考点一　向量方法解决平面几何问题的步骤 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题. (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题. (3)把运算结果“翻译”成几何关系. 考点二　向量方法解决物理问题的步骤 用向量方法讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤： (1)问题转化，即把物理问题转化为数学问题. (2)建立模型，即建立以向量为载体的数学模型. (3)求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等. (4)回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题. 技巧：(1)用向量法求长度的策略 ①根据图形特点选择基底，利用向量的数量积转化，用公式|a|2＝a2求解. ②建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a＝(x，y)，则|a|＝. (2)用向量法解决平面几何问题的两种思想 ①几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质求解. ②坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算. 【题型归纳】 题型一：用向量证明线段垂直问题 1．（2021春·浙江·高一期末）已知点O为△ABC所在平面内一点，且，则O一定为△ABC的（    ） A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 2．（2022春·四川成都·高一统考期末）已知平面四边形中，，向量的夹角为. (1)求证：； (2)点是线段中点，求的值. 3．（2022春·全国·高一期末）如图，在平行四边形中，点是的中点，是的三等分点（，）.设，. (1)用表示； (2)如果，用向量的方法证明：. 题型二：用向量解决夹角问题 4．（2022春·福建厦门·高一福建省同安第一中学校考阶段练习）在中，，，动点位于直线上，当取得最小值时，的正弦值为（    ） A． B． C． D． 5．（2022春·福建福州·高一福建省福州第一中学校考期中）已知梯形中，，，E为的中点，F为与的交点，． (1)求和的值； (2)若，，，求与所成角的余弦值． 6．（2021春·重庆·高一校联考期末）如图，在中，已知，，点在上，且，点是的中点，连接，相交于点. (1)求线段，的长； (2)求的余弦值. 题型三：用向量解决线段的长度问题 7．（2022春·辽宁锦州·高一统考期末）已知，，，，点D在边上且，则长度为（    ） A． B． C． D． 8．（2022春·福建福州·高一福州四中校考期末）平面内不同的三点O，A，B满足，若，的最小值为，则（    ） A． B． C． D． 9．（2022春·新疆乌鲁木齐·高一乌鲁木齐市第70中校考期末）如下图，在中，为边上的一点，，且与的夹角为. (1)求的模长 (2)求的值. 题型四：向量与几何最值问题 10．（2022春·辽宁沈阳·高一沈阳二十中校联考期末）如下图，在平面四边形ABCD中，，，，．若点M为边BC上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 11．（2022春·广西柳州·高一校考阶段练习）在中，，，，为边中点． (1)求的值； (2)若点满足，求的最小值； 12．（2022·浙江·高一校联考期中）在△中，已知，，，设点为边上一点，点为线段延长线上的一点，且. (1)当且是边上的中点时，设与交于点，求线段的长； (2)若，求的最小值. 题型五：向量在物理中的应用 13．（2022春·山东烟台·高一烟台二中校联考期中）一条东西方向的河流两岸平行，河宽，河水的速度为向正东．一艘小货船准备从河南岸码头P处出发，航行到河对岸Q（与河的方向垂直）的正西方向并且与Q相距的码头M处卸货，若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为，则当小货船的航程最短时，小货船航行速度的大小为（    ） A． B． C． D． 14．（2022·全国·高一假期作业）长江某地南北两岸平行，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸．假设游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为．设和的夹角为，北岸的点在A的正北方向，则游船正好到达处时，等于（    ） A． B． C． D． 15．（2022春·吉林长春·高一长春外国语学校校考阶段练习）一只鹰正以与水平方向成角的方向向下飞行，直扑猎物，太阳光垂直于地面照射下来，鹰在地面上影子的速度是50m/s，则鹰的飞行速度为（    ） A． B． C． D． 题型六：平面向量应用的综合问题 16．（2022春·上海浦东新·高一上海师大附中校考期末）在梯形中，，分别为直线上的动点. (1)当为线段上的中点，试用和来表示； (2)若，求； (3)若为的重心，若在同一条直线上