2.2基本不等式课件- 2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

基本不等式 主要内容 基本不等式的应用 基本不等式的推导及其证明 基本不等式的推导及其证明 第1课时 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客. 你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？ 探究 这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形的面积为 设直角三角形的两条直角边长为a、b, 那么正方形的边长为 . 将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形. 由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式： 当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有 结论1： 证明： 作差比较 a2+b2-2ab=(a-b)2 当ab时，(a-b)2>0 得 a2+b2>2ab 当a=b时，(a-b)2=0 得 a2+b2=2ab 单击此处编辑母版文本样式 二级 三级 四级 五级 特别地，如果a>0,b>0,我们用 、 分别代替上面结论中的a、b，可得 证明同前面结论1 结论2 基本不等式 的几何意义 在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD. 你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？ 探究 易证Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB，那么 ＣD2＝ＣA·ＣB 即ＣD＝ . 由于CD不大于圆的半径 所以 单击此处编辑母版文本样式 二级 三级 四级 五级 其中当且仅当点C 与圆心重合，即a＝b时，等号成立. 的几何意义是“半径不小于半弦” 因此，基本不等式 单击此处编辑母版文本样式 二级 三级 四级 五级 如果把 看作是正数a、b的等差中项，把 看作是正数a、b的等比中项，那么该定理可以叙述为： 两个正数的等差中项不小于它们的等比中项. 基本不等式 代数意义 为a、b的算术平均数， 为几何平均数，那么 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 基本不等式的推广： 若 则 叫做n个正数的算术平均数， 叫做n个正数的几何平均数. n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 例1. 求证 证明： 当且仅当a= 即a=1时，等号成立. 当且仅当 = 即a=b时，等号成立. 证明：由于x、y都是正数，根据基本不等式得 例2.已知x、y 都是正数，求证： （x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3. （x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3. 三式相乘得 当且仅当x=y时等号成立. 例3.若x>0，y>0，且x+y=2，求x2+y2的最小值 解：∵x2+y22xy， ∴2(x2+y2)(x+y)2 ∵x+y=2， ∴x2+y22 即x2+y2的最小值为2,当且仅当x=y=1时取得最小值. 2.甲、乙两车从A地沿同一路线到达B地，甲车一半时间的速度为a，另一半时间的速度为b；乙车用速度a行走了一半路程，用速度b行走了另一半路程，若a≠b，则两车到达B地的情况是( ) (A)甲车先到达B地 (B)乙车先到达B地 (C)同时到达 (D)不能判定 1.“a＞0且b＞0”是“ ”成立的( ) (A)充分而非必要条件 (B)必要而非充分条件 (C)充要条件 (D)既非充分又非必要条件 A A 练习 单击此处编辑母版文本样式 二级 三级 四级 五级 3.已知a、b、c都是正数，求证 （a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc 证明：由于a、b、c都是正数，根据基本不等式得 （a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc 三式相乘得 当且仅当a=b=c时等号成立. 证明：由a<0,b<0，得 -a>0,-b>0 当且仅当-a=-b即a=b时等号成立. 小结 1.基本不等式的推导及其意义 2.利用基本不等式证明简单不等式 作业 P100 练习1 P100 习题3.4 A组1,2 补充作业