6.4.3.3 余弦定理、正弦定理在几何和生活应用举例-2022-2023学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（人教A版2019必修第二册）

6.4.3.3余弦定理、正弦定理在几何和生活应用举例 【考点梳理】 考点一．几个专业术语 术语名称 术语意义 图形表示 仰角与俯角 在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角 方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角θ的范围是0°≤θ<360° 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α 例：(1)北偏东α： (2)南偏西α： 坡角与坡比 坡面与水平面所成锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平宽度之比叫坡比(坡度)，即i＝＝tan θ 考点二　距离问题 类型 图形 方法 两点间不可到达的距离 余弦定理 两点间可视不可到达的距离 正弦定理 两个不可到达的点之间的距离 先用正弦定理， 再用余弦定理 考点三　高度问题 类型 简图 计算方法 底部可达 测得BC＝a，∠BCA＝C，AB＝a·tan C. 底部不可达 点B与C，D共线 测得CD＝a及C与∠ADB的度数. 先由正弦定理求出AC或AD，再解三角形得AB的值. 点B与C，D不共线 测得CD＝a及∠BCD，∠BDC，∠ACB的度数. 在△BCD中由正弦定理求得BC，再解三角形得AB的值. 【题型归纳】 题型一：正、余弦定理判定三角形的形状问题 1．（2022春·广西柳州·高一）在中，，则三角形的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形 C．正三角形 D．等腰三角形 2．（2022春·吉林长春·高一长春吉大附中实验学校校考期末）在中，角的对边分别为，已知三个向量，共线，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．钝角三角形 C．有一个角是的直角三角形 D．等腰直角三角形 3．（2022·高一课时练习）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法中错误的是（    ） A．若，则一定是等边三角形 B．若，则一定是等腰三角形 C．若，则一定是等腰三角形 D．若，则一定是钝角三角形 题型二：求三角形的周长或者边长最值或范围问题 4．（2022春·河南洛阳·高一统考期末）在中，A，B，C分别为三边a，b，c所对的角，若，且，则的最大值是（    ） A．1 B． C．2 D． 5．（2022春·福建泉州·高一校联考阶段练习）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，且满足关系式，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2021春·天津滨海新·高一校考期中）在锐角中，A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型三：几何图形中的计算 7．（2022春·四川成都·高一校联考期中）如图，满足，则（    ） A． B． C． D． 8．（2021春·重庆九龙坡·高一重庆市育才中学校考期中）如图所示，在平面四边形中，是等边三角形，，，，则的面积为（    ） A． B． C．14 D． 9．（2022·全国·高一）如图，设的内角所对的边分别为，，且若点是外一点，，则下列说法中错误的是（    ） A．的内角 B．的内角 C．四边形面积无最大值 D．四边形面积的最大值为 题型四：求三角形面积最值或者范围问题 10．（2022春·江苏南通·高一统考期末）在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，则面积的最大值为(    ) A．1 B．3 C．2 D．4 11．（2022春·四川甘孜·高一统考期末）在中，角所对的边分别为，，，则面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 12．（2022秋·福建福州·高一福建省福州第一中学校考期末）我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中独立提出了一种求三角形面积的方法“三斜求积术”，即的面积，其中分别为的内角的对边，若，且，则的面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 题型五：测量距离问题 13．（2022春·浙江·高一期中）一海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东，在B处观察灯塔，其方向是北偏东，那么B，C两点间的距离是（    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 14．（2022·高一单元测试）如图，某景区欲在两山顶A，C之间建缆车，需要测量两山顶间的距离．已知山高，，在水平面上E处测得山顶A的仰角为30°（B、D、E在同一水平面上），山顶C的仰角为60°，，则两山顶A，C之间的距离为（    ） A． B． C． D． 15．（2022春·四川广安