12.3角的平分线的性质 课件 2022-2023学年人教版八年级数学上册

12.3 角的平分线的性质 人教版 八年级数学上 1 0 (1)三角形的判断方法有哪些? SSS,SAS,AAS,ASA,HL(直角三角形) (2)什么是角的平分线? 从一个角的顶点出发,把这个角平均分成两个相等的角的射线,叫做角的平分线。 2 0 探究一:角的平分线的作法 请同学们拿出准备好的角,用你自己的方法画出它的角平分线,然后与大家交流分享. 法一:对折 法二:用量角器 法三:用平分角的仪器 如果在黑板、墙壁呢? 如果画22.5°的角平分线,测量11.25°时,是不是不够精确呢? 3 0 探究一:角的平分线的作法 如图是一个平分角的仪器,其中OA=OB,BC=AC.将点A放在角的顶点,OA和OB沿着角的两边放下,画一条射线OE,OE就是∠AOB的平分线. 你能说明它的道理吗? O A B C E 4 0 作法: ⑴以O为圆心,任意长为半径作弧,交OA于M,交OB于N. ⑵分别以M,N为圆心,大于 的长为半径作弧,两弧在∠AOB的内部交于点C. ⑶作射线OC, 射线OC即为所求. 温馨提示: 作角平分线是最基本的尺规作图,大家一定要掌握噢! 已知:∠AOB. 求作:∠AOB的平分线. 探究一:角的平分线的作法 (1)以“适当的长为半径”是为了方便画图,不能太长,也不能太短. (2)“以大于 MN的长为半径画弧”是因为小于 MN的长为半径画弧时两弧没有交点,等于 MN的长为半径画弧时不容易操作. 如图,已知:∠AOB.求作:∠AOB的平分线. 探究一:角的平分线的作法 6 0 B M N A B O M N A 小于1/2MN:没有交点 等于1/2MN:不容易操作 探究一:角的平分线的作法 练一练: 任意画一角∠AOB,作它的平分线. 8 0 探究二:角的平分线的性质 如图,将∠AOB对折,再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边),然后展开.观察两次折叠形成的三条折痕,三条折痕分别表示什么?你能得出什么结论? 猜想:PD=PE 9 0 探究二:角的平分线的性质 以上结论成立吗?请证明. 证明: ∵ PD⊥OA,PE⊥OB ∴ ∠PDO = ∠PEO=90° ∠PDO = ∠PEO ∠AOC = ∠BOC OP=OP ∴ PD=PE 在 PDO和 PEO中 ∴ PDO ≌ PEO(AAS) 10 0 探究二:角的平分线的性质 角的平分线的性质: 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 符号语言: ∵∠AOC=∠BOC, PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为点D、E. ∴ PD=PE(角的平分线上的点到角的两边的距离相等) 回顾:从直线外一点到这条直线的垂线段的长叫做 . 点到直线的距离 11 0 判一判:(1)∵ 如下左图,AD平分∠BAC(已知) ∴ = , (在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等) BD CD × B A D C (2)∵ 如上右图, DC⊥AC,DB⊥AB (已知). ∴ = , ( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 BD CD × B A D C 缺少“垂直距离”这一条件 缺少“角平分线”这一条件 应用所具备的条件: (3)垂直距离. 角的平分线的性质: 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. (1)角的平分线; (2)点在该平分线上; 探究二:角的平分线的性质 下面四个图中,点P都在∠AOB的平分线上,则图形( )中PD=PE. A B C D 【思路点拨】利用角平分线的性质时,非常重要的条件是PD和PE是到角两边的距离. D 【解答过程】选项A中如果增加一个条件OD=OE,就能得出PD=PE;选项B和C中PD不是到OA的距离;选项D中P到OA和OB的距离为PD和PE. 练一练: 14 0 探究三:用角的平分线的性质解决简单问题 【思路点拨】证CF和EA所在的两个三角形全等. 证明: 例:如图, ABC中,∠C=90°,BD平分∠ABC,DE⊥AB于E,F在BC上,AD=DF. 求证:CF=EA ∵∠C=90°,BD平分∠ABC,DE⊥AB于E, ∴DC=DE 又∵AD=DF ∴ DCF≌ DEA(HL) ∴CF=EA 15 0 探究三:用角的平分线的性质解决简单问题 练习:如图,CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E,BE,CD交于点O,且AO平分∠BAC,求证:OB=OC. 【思路点拨】利用角平分线的性质可得OD=OE,证明 BOD ≌ COE可得OB=OC. 证明: ∵CD⊥AB,BE⊥AC,AO平分∠BAC, ∴OD=OE,∠BDO=∠CEO=90°. ∵∠BOD=∠COE, ∴ BOD ≌ COE.(AAS) ∴OB=OC. 16 0 课堂总结: 用尺规作角的平分线. ⑴以O为圆心,任意长为半径作弧,交OA于M,交OB于N. ⑵分别以M,N为圆心,大于 的长为半径作弧,两