微专题27 立体几何解答题(一)-【精彩三年】2023高考数学汇编与名师优创微专题34卷课件PPT

浙江良品图书有限公司 2023 精彩三年汇编与名师优创精编卷 数学 微专题27　立体几何解答题(一) [建议时间：45分钟　满分：48分] 单击此处编辑母版文本样式 1 1. 如图，几何体的底面ABCD是边长为2的菱 形，∠ABC＝60°，△PCD和△PAD均为 正三角形，M，N分别为CD，PB的中点． (1)求证：PA⊥MN. (2)求二面角P­CM­N的余弦值． 解：(1)取PA的中点E，连接AM，ME， AC，PM，NE，如图1所示． △PCD，△PAD，△CAD是全等的等边三角形， 根据题意，AM＝PM， 单击此处编辑母版文本样式 则PA⊥ME. 又AM⊥CD，PM⊥CD，PM∩AM＝M，所以CD⊥平面APM. 又PA⊂平面APM， 所以PA⊥CD. 因为N，E分别为PB，PA的中点，则NE∥AB∥CD， 所以PA⊥NE.又PA⊥ME. 又ME∩NE＝E，则PA⊥平面MNE. 又MN⊂平面MNE，所以PA⊥MN. 单击此处编辑母版文本样式 单击此处编辑母版文本样式 单击此处编辑母版文本样式 单击此处编辑母版文本样式 单击此处编辑母版文本样式 2. 如图，在四棱锥P­-ABCD中，底面ABCD 是梯形，AD∥BC，AD＝2BC，PA⊥PD， AB＝PB＝1. (1)求证：PA⊥平面PCD. (2)若BC＝CD＝1，当四棱锥P­-ABCD的体积最大时，求直线 PB与平面PAD所成角的正弦值． 解：(1)证明：分别取AD，AP的中点E，F， 连接BE，BF，EF，如图1. 由AB＝PB，PA⊥PD得PA⊥BF，PA⊥EF. 单击此处编辑母版文本样式 又BF∩EF＝F， 所以PA⊥平面BEF. 由AD∥BC，AD＝2BC知四边形BCDE是平行四边形，则 BE∥CD，BE⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，所以BE∥平面 PCD. 同理EF∥平面PCD，且BE∩EF＝E， 所以平面BEF∥平面PCD， 所以PA⊥平面PCD. 单击此处编辑母版文本样式 (2)由AB＝PB＝BC＝CD＝1，AD＝2， 知四边形ABCD是∠A＝ 60°的等腰梯形． 连接AC，则AC⊥CD. 又PA⊥平面PCD，所以PA⊥CD， 所以CD⊥平面PAC.又CD⊂平面ABCD， 所以平面PAC⊥平面ABCD， 于是点P在底面ABCD内的射影在AC上． 在平面PAC中，PA⊥PC，所以点P在以AC为直径 的圆上运动． 单击此处编辑母版文本样式 单击此处编辑母版文本样式 单击此处编辑母版文本样式 单击此处编辑母版文本样式 单击此处编辑母版文本样式 单击此处编辑母版文本样式 单击此处编辑母版文本样式 单击此处编辑母版文本样式 单击此处编辑母版文本样式 单击此处编辑母版文本样式 单击此处编辑母版文本样式 单击此处编辑母版文本样式 单击此处编辑母版文本样式 单击此处编辑母版文本样式 单击此处编辑母版文本样式 $