专题07 双中点模型问题（专项突破）-【一题三变系列】2022-2023学年七年级数学下册重要考点题型精讲精练(人教版)

专题07 线段的双中点模型问题 【专题讲解】 ◎结论1：已知点C在线段AB上，点M、N分别是AC，BC的中点，则MN=AB. 【证明】∵点M、N分别是AC，BC的中点， ∴CM=AC，CN=BC 【等号左边CM，CN消掉共同字母C,得MN。 等号右边AC，BC消掉共同字母C，得AB】 ∴MN = CM+CN = AC+BC = （AC+BC）=AB ◎结论2：已知点C在线段AB延长线上，点M、N分别是AC，BC的中点，则MN=AB. 【证明】∵点M、N分别是AC，BC的中点， ∴MC=AC，NC=BC， 【等号左边MC，NC消掉共同字母C,得MN。 等号右边AC，BC消掉共同字母C，得AB】 ∴MN = MC - NC =AC-BC = （AC - BC）=AB 【拓展】 已知点C是线段BA 延长线上一点，点 M，N分别是 AC，BC的中点，则MN=AB 无论线段之间的和差关系如何变 ，MN的长度只与AB有关.即MN=AB. 【例】 1．（2022春·天津和平·七年级耀华中学校考期末）如图，O是的中点，T是线段上任意一点，M是的中点，N是的中点，那么下列四个等式中，不成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（2022春·七年级课时练习）已知A，B，C三点共线，线段，，点M，N分别是线段AB，BC的中点，则MN的长为（　　） A．16cm B．16cm或4cm C．4cm D．6cm或12cm 【跟踪训练】 （2022春·全国·七年级期末）如图，点C在线段上，点M、N分别是的中点． (1)若，求线段的长； (2)若C为线段上任一点，满足，其它条件不变，你能猜想的长度吗？请直接写出你的答案． (3)若C在线段的延长线上，且满足，M、N分别为的中点，你能猜想的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由． 【变式训练】 变式1．（北京市延庆区2022-2023学年七年级上学期期末考试数学试卷）如图，点是线段上的点，点是线段的中点，，，求线段的长． 请将下面的解题过程补充完整： 解：__________________，，， _________． 点是线段的中点， _________．（理由：__________________） _________． 变式2．（2022春·河北石家庄·七年级石家庄市第四十一中学校考期中）（1）如图1，点C在线段上，M，N分别是，的中点,若，，求的长． （2）设，C是线段上任意一点（不与点A，B重合）． ①如图2，当M，N分别是，的中点时，的长是___________； ②如图3，若M，N分别是，的三等分点，即，，请直接写出线段的长． 变式3．（2022春·河北唐山·七年级统考期中）如图，已知线段上有两个定点B，C． (1)图中共有____________条线段． (2)若在线段上增加一点，则增加了_____________条线段． (3)现有一列往返于A，B两地的火车，中途停靠五个站．问：①有____________种票价；②要准备____________种车票． (4)已知A，B两地之间相距140km，在A，B所在的公路（看成直线）上有一处C，且B与C之间的距离为40km，M在A，C两地的正中间，求M与A地之间的距离． 变式4．（2022春·河南郑州·七年级校联考期中）【问题探究】 (1)如图，点C在线段上，点M，N分别是的中点．若，则线段的长为______； 【方法迁移】 (2)已知点C在线段上，点M，N分别是的中点．若，则线段的长为______． 【学以致用】 (3)小明同学在解决问题“某校七年级（1）班延时服务统计情况如下，其中参加延时服务的女生是未参加延时服务的女生人数的2倍，参加延时服务的男生是全班男生人数的，若参加延时服务的男、女生共有m人，则该班共有学生多少人？（用含m的式子表示）”时，突然联想到上面的几何问题，请你将这个实际问题转化为几何模型，并直接写出答案．（建立几何模型就是画出相应的线段示意图，并分别注明相应线段的实际意义） 变式5．（2022春·七年级课时练习）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道问题产生了探究的兴趣： 如图1，点C在线段AB上，M，N分别是AC，BC的中点．若AB＝12，AC＝8，求MN的长． (1)根据题意，小明求得MN＝___________； (2)小明在求解（1）的过程中，发现MN的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究． 设AB＝a，C是线段AB上任意一点（不与点A，B重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答． ①如图1，M，N分别是AC，BC的中点，则MN＝______________； ②如