专题05 平行线中的“拐点”模型问题（专项突破）-【一题三变系列】2022-2023学年七年级数学下册重要考点题型精讲精练(人教版)

专题05 专项突破-平行线中的“拐点”模型问题 【思维导图】 【专题讲解】 ◎【模型一：猪蹄模型】 ◎结论1：若AB∥CD，则∠B0C=∠B+∠C 【证明】过点 O作OE//AB，如图. ∵AB∥CD, ∴OE∥CD, ∴∠B=∠1,∠C=∠2, ∴∠1+∠2=∠B+∠C 即∠BOC=∠B＋∠C. ◎结论2：若∠BOC=∠B+∠C，则AB∥CD. 【证明】过点 O作OE∥AB， 则 ∠B=∠1, ∵∠BOC=∠B+∠C， ∠BOC=∠1+∠2， ∴∠1+∠2=∠B+∠C ∴∠C=∠2 ∴OE∥DC， 又OE∥AB， ∴AB∥CD. 【例】 1．（2022春·八年级课时练习）如图，∠BCD＝90°，AB∥DE，则α与β一定满足的等式是（　　） A．α+β＝180° B．α+β＝90° C．β＝3α D．α﹣β＝90° 2．（2022秋·山东聊城·七年级统考阶段练习）已知直线AB//CD，EF是截线，点M在直线AB、CD之间． (1)如图1，连接GM，HM．求证：∠M＝∠AGM＋∠CHM； (2)如图2，在∠GHC的角平分线上取两点M、Q，使得∠AGM＝∠HGQ．试判断∠M与∠GQH之间的数量关系，并说明理由． 【跟踪训练】 1．（2022·全国·七年级假期作业）如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（   ） A．70° B．65° C．35° D．50° 2．（2021秋·广西柳州·七年级统考期中）已知直线，直线EF分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分别在直线a，b上，且在直线EF的左侧，点P是直线EF上一动点（不与点E，F重合），设∠PAE＝∠1，∠APB＝∠2，∠PBF＝∠3． (1)如图，当点在线段上运动时，试说明∠1＋∠3＝∠2； (2)当点P在线段EF外运动时有两种情况． ①如图2写出∠1，∠2，∠3之间的关系并给出证明； ②如图3所示，猜想∠1，∠2，∠3之间的关系（不要求证明）． 【变式训练】 变式1．（2021秋·全国·七年级专题练习）如图，∠BCD＝70°，AB∥DE，则∠α与∠β满足（　　） A．∠α+∠β＝110° B．∠α+∠β＝70° C．∠β﹣∠α＝70° D．∠α+∠β＝90° 变式2．（2018·山东济南·中考真题）如图，AB∥CD，∠BED=61°，∠ABE的平分线与∠CDE的平分线交于点F，则∠DFB=（　　） A．149° B．149.5° C．150° D．150.5° 变式3．（2022春·河南平顶山·八年级统考期末）如图： (1)如图1，，，，直接写出的度数． (2)如图2，，点为直线，间的一点，平分，平分，写出与之间的关系并说明理由． (3)如图3，与相交于点，点为内一点，平分，平分，若，，直接写出的度数． 变式4．（2021秋·福建莆田·七年级莆田第二十五中学校考阶段练习）如图，，点E在直线AB，CD内部，且． （1）如图1，连接AC，若AE平分，求证：平分； （2）如图2，点M在线段AE上， ①若，当直角顶点E移动时，与是否存在确定的数量关系?并说明理由； ②若（为正整数），当直角顶点E移动时，与是否存在确定的数量关系?并说明理由． ◎【模型二：铅笔头模型】 ◎结论1：如图所示，AB∥CD，则∠B+∠BOC+∠C=360° 【证明】如图，过点 O作 OE//AB. ∵AB∥CD, OE//AB//CD. ∴∠B+∠1=180°,∠C+∠2=180°, ∴∠B+∠1+∠2+∠C=360° ∴∠B＋∠BOC+∠C=360°. ◎结论2：如图所示，∠B+∠BOC+∠C=360°，则AB∥CD. 【证明】如图，过点 O作EF//AB， 则∠B＋∠1=180° ∵∠B+∠BOC+∠C=360°, ∴∠C+∠2=180° ∴EF∥CD 又∵EF//AB， ∴AB//CD. “异形”铅笔头：拐点数n,∠A+...+∠C=180°×（n+1） 拐点数：1 拐点数：2 拐点数：n 【例】 1．（2022秋·甘肃金昌·七年级校考期中）如图，已知，则的度数是（ ） A． B． C． D． 2（2022·全国·七年级假期作业）综合探究：已知，点、分别是、上两点，点在、之间，连接、．      （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，若点是下方一点，平分，平分，已知，求的度数． 【跟踪训练】 1.（2021秋·全国·七年级专题练习）如图，已知AB//CD，则，，之间的等量关系为（    ） A． B． C． D． 2．