专题04 相交线中的几何计数问题（专项突破）-【一题三变系列】2022-2023学年七年级数学下册重要考点题型精讲精练(人教版)

专题04 专项突破-相交线中的几何计数问题 ◎【专题讲解】 阅读：在直线上有个不同的点，则此图中共有多少条线段？通过分析、画图尝试得如下表格： 图形 直线上点的个数 共有线段的条数 两者关系 2 1 3 3 4 6 问题： （1）把表格补充完整； （2）根据上述得到的信息解决下列问题： ①某学校七年级共有20个班进行辩论赛，规定进行单循环赛（每两班赛一场），那么该校七年级的辩论赛共要进行多少场？ ②乘火车从站出发，沿途经过10个车站方可到达站，那么在，两站之间需要安排多少种不同的车票？ 【解答】解：（1） 图形 直线上点的个数 共有线段的条数 两者关系 2 1 3 3 4 6 （2）①把每一个班级看作一个点，则（场； ②由题意可得：一共12个车站看作12个点，线段条数为（条， 因为车票有起点和终点站之分， 所以车票要（种． 【例】 平面内两两相交的7条直线，其交点个数最少是m个，最多是n个，则m+n的值为（　　） A．18 B．20 C．22 D．24 【答案】C 【分析】根据平面内两两相交直线交点的个数所呈现的规律得出m、n的值即可． 【详解】解：平面内两两相交的7条直线，其交点个数最少是1个，即m＝1， 平面内两两相交的7条直线，其交点个数最多是1+2+3+4+5+6＝21（个），即n＝21， 所以m+n＝22， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了直线相交的交点情况，找出交点个数是解题的关键． 【跟踪训练】． （2022春·安徽蚌埠·七年级校考阶段练习）如图，2条直线相交有1个交点，3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点按这样的规律若n条直线相交交点最多有36个，则此时n的值为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】B 【分析】2条直线相交有1个交点，3条直线相交最多有个交点，4条直线相交最多有个交点……按这样的规律，n条直线相交的交点最多是个交点，再把各选项的n的值代入计算即可解答问题． 【详解】解：2条直线相交有1个交点， 3条直线相交最多有个交点， 4条直线相交最多有个交点…， 按照这样的规律，n条直线相交的交点最多是个交点， 当时，则， 当时，则， 当时，则， 当时，则， 答：若n条直线相交交点最多有36个，则此时n的值为9． 故选B． 【点睛】此题考查的是相交线及规律性题目，解答此题关键是根据直线的条数变化得到的交点个数的变化，得出规律，再利用规律进行计算即可解答问题． 【变式训练】． 变式1（2021秋·河南商丘·七年级统考期中）当三条直线相交于同一点时，对顶角有m对，交于不同的三点时，对顶角有n对，则m与n的关系是（    ） A．m=n B．m<n C．m>n D．不能确定 【答案】A 【分析】掌握对顶角的概念，结合图像即可得出答案． 【详解】当三条直线相交于同一点时，对顶角有6对；交于不同的三点时，对顶角有6对，故m=n． 故选A． 【点睛】本题考查了对顶角的概念，在具体图形中识别所有对顶角是本题的关键． 变式2．（河北省邢台市信都区2021-2022学年七年级上学期期中数学试题）如图，线段AB上的点数与线段的总数有如下关系：如果线段AB上有三个点时，线段总共有＝3条，如果线段AB上有4个点时，线段总数有＝6条，如果线段AB上有5个点时，线段总数共有＝10条，…… （1）当线段AB上有6个点时，线段总数共有____条； （2）某学校七年级共有10个班进行辩论赛，规定进行单循环赛（每两班赛一场），那么该校七年级的辩论赛的场数是____． 【答案】     （1）15     （2）45 【分析】（1）由线段AB上有三个点时，线段总共有＝3条，线段AB上有4个点时，线段总数有＝6条，线段AB上有5个点时，线段总数共有＝10条，可归纳得到当线段AB上有6个点时，线段总数共有条线段，从而可得答案； （2）仿照（1）的计算方法进行推导即可. 【详解】解：（1）由题干信息归纳可得： 当线段AB上有6个点时，线段总数共有条线段， 故答案为15 （2）由（1）得： 2个班进行辩论赛，规定进行单循环赛，比赛场次为：场， 3个班进行辩论赛，规定进行单循环赛，比赛场次为：场， 4个班进行辩论赛，规定进行单循环赛，比赛场次为：场， 归纳可得： 10个班进行辩论赛，规定进行单循环赛，比赛场次为：场； 故答案为：45 【点睛】本题考查的是图形数量规律的探索，解题的关键是“从具体的信息中抽象归纳出运算特征，