7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义-2022-2023学年高一数学新教材同步知识题型汇总及跟踪测试（人教A版2019必修第二册）

7.2.1复数的加、减运算及其几何意义 课程目标与核心素养 课程目标 核心素养 1.掌握复数代数形式的加、减运算法则；  2.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义. 1.逻辑推理：根据复数与平面向量的对应关系推导其几何意义; 2.数学运算：复数加、减运算及有其几何意义求相关问题; 3.数学建模：结合复数加、减运算的几何意义和平面图形，数形结合，综合应用. 概念梳理 1. 复数的加法法则 (1)运算法则。 设 是任意两个复数, 那么它们的和 , 两个复数的和仍然是一个确定的复数。 (2)加法运算律。 对任意 , 有 。 (3) 复数加法的几何意义。 如图, 设 分别与复数 对应, 则 。由平面向量的坐标运算法则, 得 。这说明两个向量 与 的和就是与复数 对应的向量。因此, 复数的加法可以按照向量的加法来进行。 2. 复数的减法法则 (1)运算法则。 复数的减法是加法的逆运算; 设 是任意两个复数, 则 , 两个复数的差是一个确定的复数。 (2) 复数减法的几何意义。 如图, 复数 是从向量 的终点指向向量 的终点的向量 所对应的复数。 【概念辨析】 如何正确理解复数加法的几何意义? (1)复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则. (2) 它包含两个方面: 一方面是利用几何意义可以把几何图形的变换转化为复数运算去处理; 另一方面对于一些复数的运算也可以给予几何解释, 将复数作为工具运 用于几何之中. 两个复数的和仍是一个确定的复数.复数的加法可以推广到多个复数相加的情形: 各复数的实部分别相加, 虚部分别相加.例如 .两个复数相减的结果仍是一个确定的复数 两个复数的减法运算是两个复数的加法运算的逆运算;复数的减法法则可推广到多个复数相减.两个复数的差的几何意义实际上就是平面向量的三角形法则;复数 是连接向量 的终点, 并指向被減向量的向量 所对应的复数. 回归教材 1. 计算: (1) ; (2) ; (3) ; (4) . 【解析】(1) . (2) . (3) . (4) 4) . 2. 如图, 向量 对应的复数是 , 分别作出下列运算的结果对应的向量: (1) ; (2) ; (3) . 【解析】在图中标出即可 3. 证明复数的加法满足交换律、结合律. 【证明】设 , , . (1) 交换律 .,, (2) 结合律 : . ++，+=， 4. 求复平面内下列两个复数对应的两点之间的距离: (1) ;(2) , 【解析】(1) . (2) . 题型讲解 探究（一）复数的加法与减法运算 【典例1】(1) 计算: ; (2) 设 , 且 , 求 。 【解析】(1) (2) 因为 ,所以 ,所以 所以 所以 。 【方法总结】复数加、减运算的法则 (1)复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减, 虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部, 因此要准确地提取复数的实部与虚部. (2) 复数的运算可以类比多项式的运算 (类似于合并同 类项): 若有括号, 括号优先; 若无括号, 可以从左到右依次进行计算. 【补充训练1】 为实数, 设 , 当 时, 复 数 为（ ） A. B. C. 3 D. 【解析】选 D. 因为 , 所以 , 所以 ,即 . 【补充训练2】; 【解析】 . 【补充训练3】（多选）若 , 且复数 的实部或虚部为零, 则 的值可能为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 【解析】选 CD. . 所以 或 , 所以 或 . 【方法总结】复数的加、减运算类似于实数运算, 若有括号, 则先计算括号内的; 若没有括号, 则可以从左至右依次进行计算. 探究（二）复数加、减运算的几何意义 【典例2】如图, 平行四边形 的顶点 对应复数分别为, 试求 (1) 所表示的复数, 所表示的复数; (2)对角线 所表示的复数; (3) 对角线 所表示的复数及 的长度. 【解析】(1) , 所以 所表示的复数为 . 因为 , 所以 所表示的复数为 . (2) .所以 所表示的复数为 . (3) 对角线 , 它所对应的复数 . 【方法总结】 利用复数加减运算的几何意义解题的技巧及常见结论 (1) 形转化为数: 利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理. (2) 数转化为形: 对于一些复数运算也可以给予几何解释, 使复数作为工具运用于几何之中. 【补充训练1】已知平行四边形 中, 与 对应的复数分别是 与 , 两对角线 与 相交于 点。则 对应的复数为（ ） A. B. C. D. 【解析】由于四边形 是平行四边形, 所以