7.1.2 复数的几何意义-2022-2023学年高一数学新教材同步知识题型汇总及跟踪测试（人教A版2019必修第二册）

7.1.2复数的几何意义 课程目标与核心素养 课程目标 核心素养 1. 理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系； 2. 掌握实轴、虚轴、模等概念； 3. 掌握用向量的模来表示复数的模的方法. 1.数学抽象：复平面及复数的几何意义的理解; 2.逻辑推理：根据平面与向量的关系推出复数与向量的一一对应及复数模公式; 3.数学运算：根据复数与复平面的点一一对应求参数和求复数的模; 4.数学建模：根据复数的代数形式，数形结合，多方位了解复数的几何意义，提高学生学习数学的兴趣. 概念梳理 1. 复平面 (1) 复平面 : 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面。 (2) 实轴: 坐标系中的 轴叫做实轴, 在它上面的点都表示实数。 (3) 虚轴: 坐标系中的 轴叫做虚轴, 除去原点外, 在它上面的点都表示纯虚数。 2. 复数的几何意义 (1) 复数集 中的数与复平面内的点一一对应: 复数 一对应复平面内的点 。 (2) 复数集 中的数与复平面内以原点为起点的向量一一对应: 复数 一对应平面向量 。 3. 复数的模 (1) 定义: 向量 的模叫做复数 的模或绝对值, 记作 或 。 (2) 求法: , 其中 。 (3) 模的几何意义:复数 的模就是复数 所对应的点 到原点 的距离。 4. 共轭复数 当两个复数的实部相等, 虚部互为相反数时, 这两个复数叫做互为共轭复数。虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数。复数 的共轭复数用 表示, 即如果 , 那么 。 【概念辨析】 归纳 复平面、实轴、虚轴与复数的对应 (1) 复平面内的点与复数的对应: 点 的横坐标是实部 , 纵坐标是虚部 , 复数 可用点 表示. (2) 实轴与实数的对应: 实轴上的点都表示实数, 原点对应的有序实数对为 , 表示的数是实数0 . (3) 虚轴 (除原点外) 与纯虚数的对应: 除了原点外, 虚轴上的点都表示纯虚数. (4) 象限内的点与一般虚数的对应: ①第一象限的点对应复数的特点: 实部为正,且虚部为正; ②第二象限的点对应复数的特点: 实部为负,且虚部为正; ③第三象限的点对应复数的特点: 实部为负,且虚部为负; ④第四象限的点对应复数的特点: 实部为正,且虚部为负. 复数的模能否比较大小? 因为复数的模是一个非负实数, 两个实数可以比较大小, 所以复数的模可以比较大小. 特别提醒 1. 实数的共轭复数是其本身. 2. 共轧复数的模相等, 即 . 回归教材 1. 说出图中复平面内各点所表示的复数 (每个小方格的边长为 1). 【解析】在复平面内, 点 对应的复数分别为 . 2. 在复平面内, 描出表示下列复数的点: (1) ; (2) ; (3) 2-4; (4) ; (5) 5 ; (6) . 【解析】建立复平面，描出点即可 3. 已知复数 , （1）在复平面内画出这些复数对应的向量; (2) 求这些复数的模. 【解析】（1）建立复平面，描出点即可 (2) . 题型讲解 探究（一）复数与复平面内点的关系 【典例1】实数 分别取什么值时, 复数 对应的点 在: (1) 第三象限; (2) 函数 图象上. 【解析】因为 是实数, 所以 也是实数. (1) 当实数 满足 即当 时, 点 在第三象限. (2) 对应点 , , 当实数 满足 , 即当 时, 点 在 图象上. 【方法总结】利用复数与点的对应解题的步骤 (1) 找对应关系: 复数的几何表示法即复数 可以用复平面内的点 来表示, 是解决此类问题的根据. (2) 列出方程 (组) 或不等式 (组): 此类问题可寻求复数的实部与虚部应满足的条件, 通过解方程 (组) 或不等式 (组) 求解. 【补充训练1】实部为 , 虚部为2的复数所对应的点位于复平面的（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【解析】实部为 , 虚部为2的复数所对应的复平面内的点为 , 位于第二象限。故选 B。 【补充训练2】复平面内复数 ，当点位于第三象限时，的取值范围为 【解析】由点 位于第三象限, 得 即 解得 . 【补充训练3】（多选）在复平面内, 下列实数能使复数 的点在第二象限的有哪些（ ） A. B. C. D. 0 【解析】因为 对应的点在第二象限, 所以 解得 .故选BC 【方法总结】由复平面内适合某种条件的点的集合求参数的取值时, 通常是根据复数的几何意义, 列出方程 (组) 或不 等式 (组) 求解. 探究（二）复数与复平面内向量的关系 【典例2】在复平面内, 点 对应的复数分别为 ,为复平面的坐标