7.1.1 数系的扩充和复数的概念-2022-2023学年高一数学新教材同步知识题型汇总及跟踪测试（人教A版2019必修第二册）

7.1.1数系的扩充和复数的概念 课程目标与核心素养 课程目标 核心素养 1.了解数系的扩展过程以及的引入； 2.理解复数的概念、表示法及相关概念； 3.掌握复数的分类及复数相等的条件。 1.数学抽象：的规定以及复数的有关概念； 2.逻辑推理：复数相等； 3.数学运算：复数相等求字母的值； 4.直观想象：熟悉的扩充。 概念梳理 1. 复数的有关概念 (1) 定义: 形如 的数叫做复数, 其中 叫做虚数单位。全体复数所构成的集合 叫做复数集。 (2) 复数通常用字母 表示, 即 , 其中 与 分别叫做复数 的实部与虚部。 2. 复数相等 在复数集 中任取两个数 , 我们规定: 与 相等当且仅当 且 。 3. 复数的分类 (1) 对于复数 , 当且仅当 时, 它是实数; 当且仅当 时, 它是实数 0 ; 当 时, 它叫做虚数; 当 且 时, 它叫做纯虚数。这样, 复数 可以分类如下： 复数 (2)集合表示: 【概念辨析】 (1)复数 的实部和虚部都是实数，若无， 中的 不一定是实部, 也不一定是虚部. (2) 复数 的虚部是实数 而非 . (3) 任何一个数都可以写成 的形式, 如 . (4)由复数相等的定义知，两个复数相等的充要条件是它们的实部和虚部分别对应相等, 即 且 , ). (5) 特别地, 且 . 回归教材 1. 说出下列复数的实部和虚部: 【解析】 的实部是 , 虚部是 ; 的实部是 , 虚部是 1 ; 的实部是 , 虚部是 0 ; 的实部是 0 , 虚部是 ; 的实部是 0 , 虚部是 1 ; 0 的实部和虚部都是 0. 2. 指出下列各数中, 哪些是实数, 哪些是虚数, 哪些是纯虚数. 为什么? 【解析】 是实数; , 是虚数; , 是纯虚数. 3. 求满足下列条件的实数 的值: (1) ; (2) . 【解析】(1) 由 得 (2) 由 得 题型讲解 探究（一）复数的概念 【典例1】若 为虚数单位, 证明 “ 或 ” 是“复数 为纯虚数” 的充要条件。 【证明】充分性：当 或 时, 复数 为纯虚数。 必要性：当复数 为纯虚数时, 或 . 所以“ 或 ” 是“复数 为纯虚数” 的充要条件。 【方法总结】判断与复数有关的命题是否正确的方法 1. 举反例: 判断一个命题为假命题, 只要举一个反例即可, 所以解答这类型题时, 可按照 “先特殊, 后一般, 先否 定, 后肯定”的方法进行解答. 2. 化代数式:对于复数实部、虚部的确定, 不但要把复数化为 的形式, 更要注意这里 均为实数时, 才能 确定复数的实、虚部. 【补充训练1】以下命题为真命题的是（ ） A. 若 , 则 B. 的虚部是 C. 的实部是 0 D. 0 没有虚部 【解析】对于 , 当 时, 成立, 否则不成立, 如 , 所以 为假命题; 对于 , 其虚部为2 , 不是 , 所以 为假命题; 对于 , 其实部是0 , 所以 为真命题; 0 的虚部是0 , 所以 为假命题。故选 。 【补充训练2】若复数 的实部与虚部互为相反数, 则 = 【解析】复数 的实部为 2 , 虚部为 , 因为该复数的实部与虚部互为相反数, 所以 , 所以 . 【补充训练3】（多选）已知复数 的实部和虚部分别是2和3 , 则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 【解析】令 得 .故选BC 【方法总结】在理解和应用复数的概念时, 先将复数改写为 的形式, 再明确复数的实部和虚部. 探究（二）复数的分类 【典例2】实数 分别取什么值时, 复数 是(1)实数?(2) 虚数？(3)纯虚数? 【解析】(1)当满足 即 时, 是实数. (2) 当满足 即 且 时, 是虚数. (3) 当满足 即 或 时, 是纯虚数. 【方法总结】 解决复数分类问题的方法与步骤 (1) 化标准式:解题时一定要先看复数是否为 的形式, 以确定实部和虚部. (2) 定条件: 把复数化为代数形式, 列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可. (3) 下结论: 设所给复数为 , (1) 为实数 ; (2) 为虚数 ; (3) 为纯虚数 且 . 【补充训练1】已知 , 复数 , 当 为何值时 为实数（ ） A.-1 B. C. 0 D. 1 【解析】当 为实数时, 需满足 解得 。故选D 【补充训练2】实数 取什么值时, 复数 15) 是纯虚数 【解析】当 满足 即 或 时, 是纯虚数. 【补充训练3】（多选）数 ，下列说法正确的有 A