7.2.2 复数的乘、除运算-2022-2023学年高一数学新教材同步知识题型汇总及跟踪测试（人教A版2019必修第二册）

7.2.2复数的乘、除运算 课程目标与核心素养 课程目标 核心素养 1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算； 2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律; 3.理解且会求复数范围内的方程根. 1.数学抽象：复数乘法、除法运算法则; 2.逻辑推理：复数乘法运算律的推导; 3.数学运算：复数四则运算; 4.数学建模：结合实数范围内求根公式和复数四则运算，解决复数范围内的方程根问题. 概念梳理 1. 复数的乘法及其运算律 (1)复数的乘法法则。 设 是任意两个复数, 那么它们的积 。 （2）复数乘法的运算律。 对于任意 , 有 交换律： 结合律：= 乘法对加法的分配律： 2. 复数的除法 =+ 【概念辨析】 1：两个复数的乘法运算可直接利用运算法则进行，也可仿照多项式的乘法, 只要在所得的结果中把 换成 , 并且把实部和虚部分别合并即可; 2：两个复数的积仍然是一个复数, 并可推广到多个复数, 即多个复数的积仍然是一个复数; 3：三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算. 4：两个复数相除(除数不为0), 所得的商是一个确定的复数. 5：计算复数的除法可直接利用除法法则进行, 也可通过分子分母同乘以分母的共轭复数进行“分母实数化”求得结果, 特别是后者可避免死记除法法则. 6：当 时, ; 当 时, , 故 与 不一定能比较大小; 7：若 , 则 若 , 则 不一定有 , 但若 , 则一定有 . 共轭复数与复数的模的性质 (1) 设 , 可知 为实数, 为纯虚数 ; (2) 记 . 注意 ; (3) ; (4) ; ( 两个复数和与差的共轭等于共轭的和与差) (5) ; (两个复数积的共轭等于共轭的积） (6) ; ( 一个复数次方的共轭等于共轭的次方) (7) ; ( 两个复数商的共轭等于共轭的商) (8) 三角不等式: 设 , 则 . (借助复数加减法的几何意义进行证明） 回归教材 1. 计算: (1) ;(2) ;(3) . 【解析】(1) . (2) . (3) . 2. 计算: (1) ;(2) ;(3) . 【解析】(1) . (3) 5 . 3. 计算: (1) (2) ; (3) ; (4) . 【解析】(1) 1 (2) . (3) 1. (4) 13 . 4. 在复数范围内解下列方程： (1) ; (2) . 【解析】(1) . (2) , 题型讲解 探究（一）复数的乘法运算 【典例1】计算: (1) ; (2) . 【解析】 . (2) . 【方法总结】两个复数代数形式乘法的一般方法:复数的乘法可以按多项式的乘法法则进行, 注意选用恰当的乘法公式进行简便运算,例如平方差公式、完全平方公式等. 2. 常用结论 (1) ; (2) ; (3) . 【补充训练1】若复数 在复平面内对应的点在第二象限, 则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. 【解析】因为 , 所以它在复平面内对应的点为 , 又此点在第二象限, 所以 解得 。故选 。 【补充训练2】如果 , 那么 【解析】因为 , 故 , 所以 , 故 , 故 . 答案: 【补充训练3】（多选）若 ,下列关于复数说法正确的有（ ） A. 复数为纯虚数 B. 复数为实数 C. D. 【解析】由 , 得 , 所以 .故选AC 【方法总结】(1)复数的混合运算和实数的运算顺序一致, 在计算时, 若符合乘法公式, 则可直接运用公式计算; (2) 根据复数的除法法则, 通过分子、分母都乘分母的共轭复数, 使“分母实数化”, 这个过程和“分母有理化”类似. 探究（二）复数的除法运算 【典例2】计算: (1) . 【解析】(1) (2) = 【方法总结】 两个复数代数形式的除法运算步骤 (1) 首先将除式写为分式; (2) 再将分子、分母同乘以分母的共轭复数; (3) 然后将分子、分母分别进行乘法运算, 并将其化为复数的代数形式. 【补充训练1】设 , 复数 的实部为2 , 则复数 的虚部为（ ） A. B. 7 C. D. 1 【解析】, 则 , 则 , 所以复数 的虚部为 。 故选 C。 【补充训练2】(1) 已知 为虚数单位), 则复数 (2) ( 为虚数单位) (3) 已知 为虚数单位, 复数 满足 , 则 【解析】(1) 由题意可得 . (2) . (3) 由题意可得 ,. ,. 【补充训练3】（多选）设 为实数, 且 ,下列说法正确的有（ ） A. B.