第6讲 圆锥的体积-2022-2023学年六年级数学下册易错题精编讲义（苏教版）

第6讲 圆锥的体积（讲义） （知识梳理+易错汇总+易错精讲+易错专练） 1、圆锥的体积。 圆锥的体积等于和它等底等高的圆柱体积的。圆锥的体积计算公式是V圆锥=V圆柱=Sh。 温馨提示：把一个圆柱削成一个最大的圆锥，这个圆锥与圆柱等底等高。 2、圆柱和圆锥的关系。 （1）等底等高的圆柱与圆锥的体积比是3∶1，即圆柱的体积比圆锥的体积多2倍，也可以说圆锥的体积比圆柱的体积少。 （2）等体积等高的圆柱与圆锥的底面积的比是1∶3。 （3）等体积等底面积的圆柱与圆锥的高的比是1∶3。 掌握好圆柱体积和圆锥体积的关系，能够相互运用求其中一个。 1、运用圆锥体积的计算公式时不要忘记乘。 2、不是任何一个圆锥的体积都是圆柱的三分之一，只有等底等高的圆柱和圆锥的体积才存在3倍的关系。 3、明确等体积变化的问题，解决此类问题注意体积不变，只是形状发生了改变。 【易错一】一个底面半径为12厘米的圆柱形杯中装有水，里面有一个底面直径是12厘米，高是18厘米的圆锥形铁块（完全浸没在水中），当铁块从杯中取出后，杯中的水面会下降（    ）厘米。 A．2 B．1.5 C．1 D．0.5 【解题思路】根据题意，水面下降的部分的体积等于这个圆锥形铁块的体积，根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，代入数据，求出铁块的体积；再根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，高＝体积÷底面积；代入数据，即可求出杯中的水面会下降多少厘米。 【完整解答】3.14×（12÷2）2×18×÷（3.14×122） ＝3.14×36×18×÷（3.14×144） ＝113.04×18×÷452.16 ＝2034.72×÷452.16 ＝678.24÷452.16 ＝1.5（厘米） 一个底面半径为12厘米的圆柱形杯中装有水，里面有一个底面直径是12厘米，高是18厘米的圆锥形铁块（完全浸没在水中），当铁块从杯中取出后，杯中的水面会下降1.5厘米。 故答案为：B 【易错点】熟练掌握和利用圆柱的体积公式和圆锥的体积公式是解答本题的关键。 【易错二】把一个高为的圆柱截成两个相等的小圆柱后，表面积增加，把这样的一个小圆柱削成最大的圆锥，圆锥的体积是( )。 【解题思路】把一个高是的圆柱截成两个相等的小圆柱后，增加的表面积为圆柱底面积的2倍，根据圆柱的体积公式，算出大圆柱的体积；小圆柱的底面积不变，高为原来圆柱高的，根据圆柱的体积公式，先算出小圆柱的体积，再乘即为圆锥的体积，由此即可解答。 【完整解答】6×（30÷2）×× ＝6×15×× ＝15（） 【易错点】此题考查了圆柱和圆锥的体积公式的灵活应用，抓住圆柱的切割特点得出圆柱的底面积是解决本题的关键。 【易错三】一个底面半径为12厘米的圆柱形水槽中装有水，将一个底面半径为6厘米的圆锥形铅块完全没入水槽中，水面升高6厘米。这个铅块高是多少厘米？ 【解题思路】根据题干，这个圆锥形铅块的体积就是上升6厘米的水的体积，上升这部分水的体积可看作底面半径为12厘米，高为6厘米的圆柱的体积，由圆柱的体积公式：V＝求出，即可得到圆锥形铅块的体积。再通过圆锥的体积公式：V＝，代入体积即可求出这个铅块的高度。 【完整解答】3.14×122×6 ＝3.14×144×6 ＝2712.96（立方厘米） 2712.96÷（×3.14×62） ＝2712.96÷（×3.14×36） ＝2712.96÷37.68 ＝72（厘米） 答：这个铅块高是72厘米。 【易错点】此题考查了圆柱与圆锥的体积公式的灵活应用，这里根据上升的水的体积求得圆锥铅块的体积是本题的关键。 【易错四】如图，直角三角形三条边的长度分别是3厘米、4厘米、5厘米。 （1）请算出这个直角三角形的面积。 （2）分别绕这个直角三角形的两条直角边旋转一周，能够形成两个圆锥，请算出体积较大的那个圆锥的体积。 （3）笑笑有3厘米、4厘米、5厘米的小棒若干根，他设计了如图的拼图方案： 照这样拼下去，第⑧个图形需要小棒（    ）根，第个图形需要小棒（    ）根。 【解题思路】（1）直角三角形中斜边大于任意一条直角边，所以两条直角边分别是3cm、4cm，根据三角形的面积公式S＝ah÷2，代入数据计算即可。 （2）由题可知，以3cm长的直角边为轴旋转一周，则形成的圆锥的底面半径是4cm、高为3cm，以4cm长的直角边为轴旋转一周，则形成的圆锥的底面半径是3cm、高为4cm，根据圆锥的体积＝底面积×高÷3，代入数据分析即可。 （3）第①个图形需要3根小棒，即（1×2＋1）根； 第②个图形需要5根小棒，即（2×2＋1）根； 第③个图形需要7根小棒，即（2×3＋1）根； …… 第⑧个图形需要（2×8＋1）根小棒，即17根； …… 所以，第a个图形需要（2a＋1）根小棒。 【完整解答】（1）3×4÷2 ＝12÷