专题23二面角、面面角大题专练A卷-2023届高三数学二轮专题复习

专题23二面角、面面角大题专练A卷 1. 如图，在四棱锥中，已知底面，，，，，，是的中点． 求证：平面； 求二面角的大小． 2. 如图，四棱锥中，平面，，，，． Ⅰ求证：平面； Ⅱ求二面角的余弦值． 3. 在三棱柱中，，，为的中点． 证明：平面． 已知，在线段上不含端点是否存在点，使得二面角的余弦值为若存在，确定点的位置若不存在，请说明理由． 4. 如图，在四棱锥中，底面为梯形，，，，平面平面． 证明：； 若为正三角形，求二面角的正弦值． 5. 如图所示的正方体中，点，分别是棱，的中点． 证明：平面平面 求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 6. 如图，在直三棱柱中，是以为斜边的等腰直角三角形，，点，分别为棱，上的点，且． 若，求证：平面 若二面角的大小为，求实数的值． 7. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，，． Ⅰ证明：平面； Ⅱ若与平面所成角为，求二面角的余弦值． 8. 在四棱锥中，为等边三角形，，，点为的中点． 求证：平面； 已知平面平面，求二面角的余弦值． 答案和解析 1.【答案】证明：底面，面， ， 在直角梯形中，由，，可得，， ，即， 又，、平面， 平面， 平面，， ，是的中点，， ，、平面， 平面． 解：由知，，平面， 又 即为二面角的平面角． 是等腰直角三角形，且是的中点， ， 故二面角的大小是．  2.【答案】解：Ⅰ证明：平面，， ，，， 又，平面，， 平面； Ⅱ平面，， 由Ⅰ知，，， 如图，建立空间直角坐标系， ，， ，，，， ，， 设平面的法向量， 由，得， 令，则，，， 平面的一个法向量为， 设二面角的大小为，为锐角， ，， 故二面角的余弦值为．  3.【答案】证明：连接，因为，为的中点，所以． 因为，所以， 所以． 又，所以，即，． 因为，，平面，所以平面． 解：如图所示，分别以，，所在的直线为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 设，，， ． 设平面的法向量为，由得 令，得，，即． 设平面的法向量为，由 令，得，，即 ，，解得， 即当时，二面角的余弦值为．   4.【答案】证明：由题意，设，又，， 得，又， 所以，所以， 又平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以； 解：如图，取的中点，连接，在平面中作，连接， 由知，又为正三角形， 所以，所以， 所以，又， 所以为二面角的平面角， 因为平面，平面，所以， 所以， 在中，， 所以， 所以， 在中，， 所以， 在中，， 所以， 即二面角的正弦值为．  5.【答案】证明：因为为正方体，所以， 又因为平面，所以，， 所以平面， 又平面，所以平面平面． 由条件可知，，两两垂直，所以分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系如图所示， 设正方体的棱长为，则，，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则． 所以，令，得，， 所以， 又设平面的一个法向量为， 则 所以，令，得，， 所以， 所以，， 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为．  6.【答案】解：连接， ， ，分别为，的中点， ，， 四边形为平行四边形， ， 又平面，平面， 平面； 在直三棱柱中，是以为斜边的等腰直角三角形， 则以为原点，，，为，，轴，建立空间直角坐标系， 设，则，，，， 则，， 显然平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则，即 令，得， 由二面角的大小为， ， 解得或不合题意舍去， 二面角的大小为时，实数的值为．  7.【答案】证明： 平面，平面，平面， ，， 结合，平面，平面，， 平面 又平面 ，结合，平面，平面，， 平面． Ⅱ解：如图，以为原点，分别以，，为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系， 故D， 由可知， 在平行四边形中，，故BC，结合， 可得点的坐标，， 由平面， 得是斜线在平面上的射影， 与平面所成角为， 在中，，，， ，从而点坐标为， 对于二面角，平面的法向量为，设平面的法向量为，此时，，，，， 则可得，即，取得， 于是平面的一个法向量为， 则由可得，即，取得， 于是平面的一个法向量为， 由题得二面角的平面角为锐角， 故二面角的余弦值为．  8.【答案】解：取的中点，连接，， 为中点， ， 平面，平面， 平面， 又为等边三角形， ，， ，， ， ， ，，共面于平面，， 平面，平面，平面， ，、平面， 平面平面，又平面， 平面． 根据条件，连接交于，连接， ， 由对称性知，为中点，且，， 平面平面，平面平面，平面， 平面， 在中，，，，则，， 又，， 在等边中，，． 以为坐标原点，分别为，，轴，建立空间直角坐标系如图所示， 则，，，， ，，， 设平面的法向量为，平面的法向量为， 所以，令，得，，则， ，令，得，，则， ， 由图可知，二面角为钝角， 所以二面角的余弦值为．  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $