7.5 正态分布 （精讲）-【精讲精练】2022-2023学年高二数学下学期同步精讲精练（人教A版2019选择性必修第三册）

7.5 正态分布 (精讲） 目录 一、必备知识分层透析 二、重点题型分类研究 题型1: 正态曲线及其性质 题型2：正态分布的概率计算 题型3：正态分布的应用 题型4：标准正态分布 题型5：3原则及其应用 题型6：数学建模：正态分布与统计知识的综合应用 三、高考（模拟）题体验 一、必备知识分层透析 知识点1：正态曲线 （1）连续型随机变量 除了离散型随机变量外，还有大量问题中的随机变量不是离散型的，它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴，但取一点的概率为0，我们称这类随机变量为连续型随机变量. （2）正态的曲线的定义 函数，其中,为参数. 显然对于任意，，它的图象在轴的上方，可以证明轴和曲线之间的区域的面积为1，我们称为正态密度函数，称它的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线. ①函数的自变量为,定义域为 ②解析式中含有两个常数和,这两个是无理数，其中为圆周率，为自然对数的底数 ③解析式中含两个参数和,其中可取任意实数，,不同的正态曲线和的取值是不同的. ④解析式的前面是一个系数，后面是一个以为底的指数函数的形式,指数为,其中这个参数在解析式中的两个位置出现，注意保持一致. （3）正态曲线的几何意义 由正态曲线，过点和点的两条轴的垂线，及轴所围成的平面图形（图中阴影部分）的面积，就是落在区间的概率的近似值. （4）正态曲线的特点 ①曲线位于轴上方，与轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线对称； ③曲线在时达到峰值； ④当时，曲线上升；当时，曲线下降.并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以轴为渐近线，向它无限靠近. ⑤曲线与轴之间的面积为1； ⑥决定曲线的位置和对称性； 当一定时，曲线的对称轴位置由确定；如下图所示，曲线随着的变化而沿轴平移。 ⑦确定曲线的形状； 当一定时，曲线的形状由确定。越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散。 知识点2：正态分布 （1）正态分布 若随机变量的概率密度函数为，(,其中，为参数)，称随机变量服从正态分布，记为. （2）标准正态分布 若随机变量,则当,时，称随机变量服从标准正态分布，标准正态分布的密度函数解析式为,,其相应的密度曲线称为标准正态曲线. 知识点3：正态分布的原则：正态分布在三个特殊区间的概率值 假设，可以证明：对给定的是一个只与有关的定值. 特别地，， ， . 上述结果可用右图表示. 此看到，尽管正态变量的取值范围是，但在一次试验中，的值几乎总是落在区间内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.0027,通常认为这种情况几乎不可能发生. 在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值，这在统计学中称为原则. 二、重点题型分类研究 题型1: 正态曲线及其性质 典型例题 例题1．（2022春·江苏常州·高二统考期中）如图是三个正态分布，，的密度曲线，则三个随机变量，，对应曲线的序号分别依次为（    ）. A．①②③ B．③②① C．②③① D．①③② 例题2．（2022春·黑龙江佳木斯·高二建三江分局第一中学校考期末）某市有甲乙两个工厂生产同一型号的汽车零件，零件的尺寸分别记为，已知均服从正态分布，，，其正态分布密度曲线如图所示，则下列结论中正确的是（    ） A．甲工厂生产零件尺寸的平均值大于乙工厂生产零件尺寸的平均值 B．甲工厂生产零件尺寸的平均值小于乙工厂生产零件尺寸的平均值 C．甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性 D．甲工厂生产零件尺寸的稳定性低于乙工厂生产零件尺寸的稳定性 例题3．（2022·浙江·模拟预测）对某地区数学考试成绩的数据分析，男生成绩服从正态分布，下列结论中不正确的是（    ） A．越大，男生成绩在的概率越小 B．越大，男生成绩大于72的概率为0.5 C．越大，男生成绩小于71.99与大于72.01的概率相等 D．越大，男生成绩落在与落在的概率相等 例题4．（多选）（2022·高二课时练习）（多选）已知三个正态密度函数的图像如图，则下列结论错误的是（    ）． A．， B．， C．， D．， 例题5．（多选）（2022·高二课时练习）（多选）以下关于正态密度曲线的说法中正确的是（    ）． A．曲线都在轴的上方，左右两侧与轴无限接近，最终可与轴相交 B．曲线关于直线对称 C．曲线呈现“中间高，两边低”的钟形形状 D．曲线与轴之间的面积为1 同类题型演练 1．（2022·高二课时练习）若随机变量，其分布密度函数为，则的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 2．（2022·全国·高三专题练习）某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是（    ） A．越大，该物理量在一次测量中在的概率越大 B．越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C．越大，该物理