7.4.2 超几何分布 （精讲）-【精讲精练】2022-2023学年高二数学下学期同步精讲精练（人教A版2019选择性必修第三册）

7.4.2 超几何分布 (精讲） 目录 一、必备知识分层透析 二、重点题型分类研究 题型1: 对超几何分布的理解 题型2：超几何分布 题型3：二项分布与超几何分布 题型4：超几何分布的综合应用 三、高考（模拟）题体验 一、必备知识分层透析 知识点1：超几何分布 （1）超几何分布 一般地，假设一批产品共有件，其中有件次品，从件产品中随机抽取件(不放回)，用表示抽取的件产品中的次品数，则的分布列为，. 其中，，，，． 如果随机变量的分布列具有上式的形式，那么称随机变量服从超几何分布． （2）对超几何分布的理解 ①在超几何分布的模型中，“任取件”应理解为“不放回地一次取一件，连续取件”.如果是有放回地抽取，就变成了重伯努利试验，这时概率分布是二项分布.所以两个分布的区别就在于是否为有放回地抽取. ②若随机变量满足： 试验是不放回地抽取次； 随机变量表示抽到两类中其中一类物品的件数.则该随机变量服从超几何分布. ③超几何分布的特点： 不放回抽样； 考察对象分两类； 已知各类对象的个数； 从中抽取若干个个体，考察其中某类个体个数的概率分布列. （3）超几何分布的均值 若随机变量服从超几何分布，则(是件产品的次品率). 知识点2：二项分布与超几何分布的区别和联系 （1）区别 由古典概型得出超几何分布，由伯努利试验得出二项分布.这两个分布的关系是，假设一批产品共有件，其中有件次品.从件产品中随机抽取件，用表示抽取的件产品中的次品数，若采用有放回抽样的方法抽取，则随机变量服从二项分布，即(其中)若采用不放回抽样的方法抽取，则随机变量服从超几何分布.超几何分布需要知道总体的容量，二项分布不需要知道总体容量，但需要知道“成功率”.超几何分布的概率计算是古典概型问题，二项分布的概率计算是相互独立事件的概率问题. （2）联系 二项分布和超几何分布都可以描述随机抽取件产品中次品数的分布规律，并且二者的均值相同.每次试验只有两种可能的结果：成功或失败.当总数很大而抽样数不太大时，不放回抽样可以认为是有放回抽样，即对于不放回抽样，当远远小于时，每抽取一次后，对的影响很小，超几何分布可以近似为二项分布. 二、重点题型分类研究 题型1: 对超几何分布的理解 典型例题 例题1．（2022·高二课时练习）【微思考】在8个大小相同的球中，有2个黑球，6个白球，现从中取3个球，求取出的球中白球个数是否服从超几何分布？超几何分布适合解决什么样的概率问题？ __________________ 例题2．（多选）（2022·高二课时练习）(多选)下列随机变量中，服从超几何分布的有（       ） A．在10件产品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，记取到的次品数为 B．从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，记表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数 C．一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯的数为随机变量 D．从10名男生，5名女生中选3人参加植树活动，其中男生人数记为 例题3．（2022·高二课时练习）下列随机变量中，服从超几何分布的有________．(填序号) ①在10件产品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，记取到的次品数为； ②从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，记表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数； ③一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯数为随机变量. 同类题型演练 1．（2022·高二课时练习）一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10.现从中任取4个球，有如下几种变量： ①X表示取出的最大号码； ②X表示取出的最小号码； ③取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X表示取出的4个球的总得分； ④X表示取出的黑球个数． 这四种变量中服从超几何分布的是(　　) A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④ 2．（2022·高二课时练习）下列问题中，哪些属于超几何分布问题，说明理由． （1）抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为X，求X的概率分布； （2）有一批种子的发芽率为70%，任取10颗种子做发芽试验，把试验中发芽的种子的个数记为X，求X的概率分布； （3）盒子中有红球3只，黄球4只，蓝球5只．任取3只球，把不是红色的球的个数记为X，求X的概率分布； （4）某班级有男生25人，女生20人．选派4名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生人数记为X，求X的概率分布； （5）现有100台MP3播放器未经检测，抽取10台送检，把检验结果为不合格的MP3播放器的个数记为X，求X的概率分布． 3．（2022·高二课时练习）判断正误 （1）超几何分布就是一种概率分布模型．( ) （2）一个袋子里装有4个白球，5个黑球