7.3.2离散型随机变量的方差(精讲）-【精讲精练】2022-2023学年高二数学下学期同步精讲精练（人教A版2019选择性必修第三册）

7.3.2 离散型随机变量的方差 (精讲） 目录 一、必备知识分层透析 二、重点题型分类研究 题型1: 求离散型随机变量的方差、标准差 题型2：离散型随机变量的方差公式及性质 题型3：两点分布的方差 题型4：方差的实际应用 三、高考（模拟）题体验 一、必备知识分层透析 知识点1：离散型随机变量的方差 （1）离散型随机变量的方差的概念 一般地，若离散型随机变量的概率分布列为： … … … … 则称 为随机变量的方差，有时也记为. 称为随机变量的标准差. （2）离散型随机变量的方差的深层理解 ①离散型随机变量的方差是个数值，是随机变量的一个重要特征数. 描述了()相对于均值的偏离程度，而是上述偏离程度的加权平均值，刻画了随机变量的取值与其均值的平均偏离程度.随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值的稳定性和波动、集中与离散程度，越大，表明平均偏离程度越大，的取值越分散；反之，越小，的取值越集中在附近. ②标准差与随机变量有相同的单位，而方差的单位是随机变量单位的平方. ③均值与方差的关系 在实际问题中仅靠均值还不能全面地说明随机变量的特征，还必须研究随机变量的集中与离散程度，这就需要求出方差. ④方差公式的变形： ⑤方差也是一个常数，它不具有随机性，方差的值一定非负. （3）两点分布的方差公式 一般地，如果随机变量服从两点分布，那么:. 1 0 （4）方差的性质 若与都是随机变量，且，则由与之间分布列的关系可知. 知识点2：样本方差与离散型随机变量方差的比较 （1）样本方差 样本数据；；；；记 均值：，其中. 方差： （2）离散型随机变量方差 离散型随机变量的分布列 … … … … 均值 方差： 知识点3：求离散型随机变量的方差步骤 (1)理解离散型随机变量的意义，写出所有可能的取值. (2)判断离散型随机变量是否服从特殊分布（如两点分布等).若服从特殊分布，则可利用公式直接求解；若不服从特殊分布，则继续下面步骤. (3)求出离散型随机变量取每个值的概率. (4)写出离散型随机变量的分布列. (5)利用均值的定义求. (6)利用求方差. 其中求均值的关键是写出离散型随机变量的分布列，前提是准确列出所有可能的取值，并真正理解取值的意义. 二、重点题型分类研究 题型1: 求离散型随机变量的方差、标准差 典型例题 例题1．（2023·全国·高三专题练习）若随机变量的分布列如表，则的方差是（    ） 0 1 A．0 B．1 C． D． 例题2．（2023·全国·高三专题练习）设，随机变量的分布列为： 0 1 则当在上增大时（    ） A．单调递增，最大值为 B．先增后减，最大值为 C．单调递减，最小值为 D．先减后增，最小值为 例题3．（2023·全国·高三专题练习）随机变量的可能值，且，则的最大值为___________. 例题4．（2023·全国·高三专题练习）不透明袋中装有质地，大小相同的4个红球，个白球，若从中不放回地取出2个球，在第一个取出的球是红球的前提下，第二个取出的球是白球的概率为． (1)求白球的个数； (2)若有放回的取出两个求，记取出的红球个数为，求，． 同类题型演练 1．（2023·全国·高三专题练习）已知的分布列如下表： 0 1 2 P ？ ! ？ 其中，尽管“!”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同.据此计算，下列各式中：①；②；③，正确的个数是（    ）A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2023·全国·高三专题练习）设，随机变量的分布列为 X 0 1 2 P b 则当在内增大时（    ） A．增大 B．减小 C． 先减小后增大 D．先增大后减小 3．（2023·全国·高三专题练习）设，随机变量X的分布列是（    ） X 0 1 P b 则当a在内增大时，（    ） A．增大 B．减小 C．先增大再减小 D．先减小再增大 4．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量的分布列如下， 0 1 2 P b a (1)求的取值范围； (2)当a为何值时，取最大值？并求出的最大值. 题型2：离散型随机变量的方差公式及性质 典型例题 例题1．（2023·全国·高三专题练习）今年3月份以来，随着疫情在深圳、上海等地爆发，国内消费受到影响，为了促进消费回暖，全国超过19个省份都派发了消费券，合计金额高达50亿元通过发放消费券的形式，可以有效补贴中低收入阶层，带动消费，从而增加企业生产产能，最终拉动经济增长，除此之外，