第六章 数学探究 杨辉三角的性质与应用-【精彩三年】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第三册课程探究与巩固教师用书PPT（人教A版）

浙江良品图书有限公司 第六章 计数原理 数学探究　杨辉三角的性质与应用 精彩三年课程探究与巩固数学选择性必修第三册 单击此处编辑母版文本样式 1 如图所示的数字三角形叫做杨辉三角， 单击此处编辑母版文本样式 单击此处编辑母版文本样式 解： 如图， 单击此处编辑母版文本样式 单击此处编辑母版文本样式 单击此处编辑母版文本样式 2．杨辉三角与数阵(数列) 例2　观察下列三角形数表： 假设第n行的第二个数为an(n≥2，n∈N*). 单击此处编辑母版文本样式 (1)依次写出第六行的所有数字； (2)归纳出an＋1与an的关系式并求出an的表达式； (3)设anbn＝1，求证：b2＋b3＋…＋bn<2. 解： (1)第六行的数字分别是6，16，25，25，16，6. (2)依题意an＋1＝an＋n(n≥2)，a2＝2， 所以an＝a2＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1) 单击此处编辑母版文本样式 单击此处编辑母版文本样式 单击此处编辑母版文本样式 3．杨辉三角与斐波那契数列 例3　在杨辉三角中，画出下图所示的一组平行线，从上到下，每条线上的数字之和依次为1，1，2，3，5，8，13，21，…，这就是著名的斐波那契数列． 单击此处编辑母版文本样式 A 单击此处编辑母版文本样式 4．杨辉三角的应用 例4　如下是某城市的部分街道图，纵横各有五条路，如果从A处走到B处 (只能由北到南，由西向东)，那么不同的走法有____________种. 例4题图 例4答图 70 单击此处编辑母版文本样式 【解析】 因为每一个路口往前走都有2种方法，如图，每一个路口所标注的数字就是走到这个路口的走法数，这些数字构成杨辉三角数，所以走到B处的走法共有70种． 单击此处编辑母版文本样式 1． 观察下列三角形数表，假设第n行的第二个数为an (n≥2，n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝_______________． 单击此处编辑母版文本样式 单击此处编辑母版文本样式 单击此处编辑母版文本样式 单击此处编辑母版文本样式 单击此处编辑母版文本样式 单击此处编辑母版文本样式 单击此处编辑母版文本样式 3．我们改变杨辉三角的规则，作三项式(1＋x＋x2)n系数三角， (1＋x＋x2)0＝1， (1＋x＋x2)1＝1＋x＋x2， (1＋x＋x2)2＝1＋2x＋3x2＋2x3＋x4， (1＋x＋x2)3＝1＋3x＋6x2＋7x3＋6x4＋3x5＋x6， (1＋x＋x2)4＝1＋4x＋10x2＋16x3＋19x4＋16x5＋10x6＋4x7＋x8， 　…… 探究展开式系数的规律，写出(1＋x＋x2)5的展开式． 单击此处编辑母版文本样式 解： 从这些等式可知，在(1＋x＋x2)n中， 当n＝0，1，2，3，4，…时， 展开式的系数如下表： 单击此处编辑母版文本样式 观察(1＋x＋x2)2的展开式可知，系数3等于它顶上的一个数与肩上的两个数之和，系数6，7也具有这样的性质，(1＋x＋x2)4的展开式系数也具有这样的性质，所以(1＋x＋x2)5＝1＋5x＋15x2＋30x3＋45x4＋51x5＋45x6＋30x7＋15x8＋5x9＋x10. 单击此处编辑母版文本样式 单击此处编辑母版文本样式 5．在游乐场，有一种如图所示的弹子游戏，小球向容器内跌落，碰到第一层阻挡物后等可能地从两侧跌落至第二层，碰到第二层阻挡物后再等可能地从两侧跌落至第三层，如此一直下落，最终小球落入底层，根据具体区域获得奖品．试问：为什么两边区域奖品价值高于中间区域的奖品价值？ 单击此处编辑母版文本样式 解： 弹子通过每一层每个通道的方法数是： 第一层1 第二层1　1 第三层1　2　1 第四层1　3　3　1 ⋮ 单击此处编辑母版文本样式 计算弹子通过各通道的概率，可得“概率三角形”如图： 从“概率三角形”可以看出，弹子跌落在两侧的概率较小，中间区域的概率较大，所以两边区域的奖品价值高于中间区域的奖品价值． 单击此处编辑母版文本样式 6．将许多大小相同的球堆成三角垛：底层是每边n个球的等边三角形，向上逐层每边减少1个，顶层是1个． 试根据杨辉三角形猜想出一个n层的三角垛中一共有多少个球． 底边球的个数 1 2 3 4 5 … 三角垛中球的总数 1 4 10 20 35 … 单击此处编辑母版文本样式 单击此处编辑母版文本样式 $