对数函数、幂函数讲义-2023届高三数学二轮专题复习

对数与对数运算 1.在指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)中，幂指数x，又叫做以a为底y的对数． 2.一般地，对于指数式ab＝N，我们把“以a为底N的对数b”记作logaN，即b＝logaN(a>0，且a≠1)．其中，数a叫做对数的底数，N叫做真数． 3.对数恒等式alogaN＝N. 4.对数与指数间的关系：ab＝N⇔b＝logaN(a>0，a≠1)． 5.常用对数/自然对数 以10为底的对数叫做常用对数，通常把log10N记作lgN. 以e为底的对数叫做自然对数，通常把logeN记作lnN. 6.对数运算性质 (1)对数的运算法则 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM (n∈R)． (2)对数的性质 ①＝ N ；②logaaN＝ N (a>0且a≠1)． (3)对数的换底公式 logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)． 对数函数 1.一般地，我们把函数y＝logax(a＞0且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域为(0，＋∞)． 2.对数函数的图象与性质 y=logax a>1 0<a<1 图象 定义域 (1)(0，＋∞) 值域 (2)R 性质 (3)过定点(1,0) (4)当x>1时，y>0; 当0<x<1时，y<0 (5)当x>1时，y<0; 当0<x<1时，y>0 (6)在(0，＋∞)上是增函数 (7)在(0，＋∞)上是减函数 习题 1.对数式lg(2x－1)中实数x的取值范围是________； 2.对数式log(x－2)(x＋2)中实数x的取值范围是______． 3.下列函数表达式中，是对数函数的个数有(　　) ①y＝logx2；②y＝logax(a∈R)；③y＝log8x；④y＝ln x； ⑤y＝logx(x＋2)；⑥y＝2log4x； ⑦y＝log2(x＋1)． A．1个　　　　　　 B．2个 C．3个　　　　　　 D．4个 4.若对数函数f(x)的图象过点(4，－2)，则f(8)＝________. 5.若函数f(x)＝log(a＋1)x＋(a2－2a－8)是对数函数，则a＝________. 6.函数f(x)＝log3(2x－1)的定义域为______． 7.函数f(x)＝＋ln(x＋1)的定义域为______． 8.函数y＝的定义域为(　　) A．[1，＋∞) B．(1，＋∞) C. D. 9.已知a＞0且a≠1，函数y＝logax，y＝ax，y＝x＋a在同一坐标系中的图象可能是(　　) 10.当0＜x≤时，4x＜logax，则a的取值范围是(　　) A.　　　　　　 B. C．(1，) D．(，2) 11.函数 的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 12.若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上递减，则a的取值范围为________. 13.若实数a，b，c满足loga2<logb2<logc2，则下列关系中不可能成立的是(　　) A．a<b<c B．b<a<c C．c<b<a D．a<c<b 14.设 ，，，则 15.设a＝log37，b＝21.1，c＝0.83.1，则(　　) A．b<a<c B．c<a<b C．c<b<a D．a<c<b 16.已知 ，则 ， 之间的大小关系是 A. B. C. D. 17.函数 的定义域为 A. B. C. D. 18.函数 恒过定点，其坐标为  ． 幂函数 1.一般地，函数y＝xα(α∈R)叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 2.幂函数的图像 3.幂函数的性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x∈R且x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y∈R且y≠0} 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 增 x∈[0，＋∞)时，增； x∈(－∞，0]时，减 增 增 x∈(0，＋∞) 时，减； x∈(－∞，0)时，减 4.“对号”函数 形如f(x)＝x＋(a>0)的函数模型称为“对勾”函数模型： 习题 1.在函数y＝x－2，y＝2x2，y＝(x＋1)2，y＝3x中，幂函数