6.3.3 空间角的计算（课件）-高二数学同步精品课堂（苏教版2019选择性必修第二册）

6.3.3 空间角的计算 第6章 空间向量与立体几何 教师 xxx 苏教版（2019） 选择性必修第二册 空间向量与夹角 探究新知 探究新知 探究新知 探究新知 典型例题 典型例题 典型例题 典型例题 探究新知 典型例题 典型例题 探究新知 典型例题 典型例题 典型例题 典型例题 典型例题 典型例题 典型例题 典型例题 典型例题 典型例题 典型例题 1．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于(　　) A．120° B．60° C．30° D．以上均错 【答案】C 【解析】由直线与平面所成的角的范围及与向量所成角的关系知直线l与平面α所成的角等于90°－(180°－120°)＝30°． 课堂练习 2．已知两平面的法向量分别为m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，则两平面所成的二面角的大小为 (　　) A．45° B．135° C．90° D．45°或135° 【答案】D 课堂练习 【答案】D 课堂练习 课堂练习 4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是A1D1，A1C1的中点，则异面直线AE与CF所成角的余弦值为________． 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 感谢观看 1.异面直线所成角 一般地，两条异面直线所成的角，可以转化为两条异面直线的方向向量的夹角来求得.也就是说，若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则 cos θ＝|cos〈u，v〉|＝＝.[4] 对异面直线所成角的几点强调： （1）异面直线所成角的范围为（0°，90°］，其余弦值一定是非负数； （2）异面直线所成的角的求解思路是通过异面直线的方向向量，转化为求方向向量夹角余弦值的绝对值； （3）异面直线所成的角也可通过几何法求解，求解思路是通过平移异面直线为相交直线，转化为求两条相交直线所成的角. 2.直线与平面所成角 直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角.如图，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos〈u，n〉|＝＝. 对直线与平面所成角的几点说明： （1）直线与平面相交时，直线与平面所成的角的范围为（0°，90°］. （2）直线与平面所成角的正弦值的求解思路是通过直线的方向向量及平面的法向量，转化为求两向量的夹角余弦值的绝对值. （3）用向量法求解直线与平面所成角时仍遵循“化为向量问题”—“进行向量运算”—“回归图形问题” 3. .两平面的夹角 如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角. 类似于两条异面直线所成的角，若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角.设平面α与平面β的夹角为θ，则 cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝＝. 对两平面的夹角的几点说明： （1）两平面夹角的范围为［0°，90°］，二面角的范围为［0°，180°］，注意区别. （2）两平面夹角的余弦值可通过两个平面的法向量，转化为两个法向量夹角余弦值的绝对值. 求两平面夹角的另一方法： 若AB，CD分别是二面角α-l-β的两个半平面α，β内与棱l垂直的异面直线，则向量与的夹角就是二面角的平面角（如图所示）. · 若，是从棱出发的向量，则〈，〉就是二面角的大小.设平面α和平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos〈，〉|. 利用空间向量求两条异面直线所成的角 例1　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E1，F1分别在A1B1，C1D1上，且E1B1＝eq \f(1,4)A1B1，D1F1＝eq \f(1,4)D1C1，求BE1与DF1所成角的余弦值． 方法一：(几何法) 【解析】 设G是AB的中点，点H在A1B1上，且A1H＝eq \f(1,4)A1B1，连接AH，GH，则AH∥DF1，GH∥BE1，所以∠AHG就是异面直线BE1与DF1所成的角．不妨设正方体的棱长为4，则AG＝2，AH＝HG＝eq \r(17).由余弦定理，得cos∠AHG＝eq \f(AH2＋GH2－AG2,2AH·GH)＝eq \f(17＋17－4,2\r(17)×\r(17))＝eq \f(15,17)，所以异面直线BE1与DF1所成角的余弦值为eq \f(15,17). 【解析】 设eq \o(DD1,\s\up16(→))＝4a，eq \o(D1F1,\s\up16(→))＝b，则|a|＝|b|且 a⊥b. 因为eq \o(BB1,\s\up16(→))＝eq \o(DD1,\s\up16(→))＝4a，eq \o(B1E1,\s\up16(→))＝－b， 所以eq \o(DF1,\s