1.4.2角平分线（第2课时）（课件）-2022-2023学年八年级数学下册教材配套教学课件(北师大版)

第一章 三角形的证明 1.4 角平分线 北师大版·八年级下册 第2课时 三角形三条内角的平分线 在一个三角形居住区内修有一个学校P，P到AB、BC、CA三边的距离都相等,请在三角形居住区内标出学校P的位置,P在何处？ A B C 一、情景导入 活动1:画下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？ 发现：三角形的三条角平分线相交于一点. 二、探索新知 活动2：分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量，每组垂线段，你发现了什么？ 发现：角平分线的交点到三角形三边的距离相等. 你能证明这两个结论吗？ 点拨：两条角平分线相交于一点，证该点也在第三条角平分线上 AP是∠BAC的平分线 BP是∠ABC的平分线 PI=PH PG=PI PH=PG 点P在∠BCA的平分线上 A B C P F H D E I G 发现：三角形的三条角平分线交于一点，且这点到三边的距离相等. 思路如下： 已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，过点P分别作AB、BC、AC的垂线，垂足分别为D、E、F 求证： ∠A的平分线经过点P，且PD=PE=PF. 证明：∵BM是△ABC的角平分线， 点P在BM上， ∴PD=PE，同理PE=PF. ∴PD=PE=PF. ∴点P 在∠A的平分线上. ∴ ∠A的平分线经过点P,且PD=PE=PF D E F A B C P N M 6 A B C P E D F 三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等. 符号语言： ∵如图，在△ABC中， ∠B 、∠C的平分线相交于点P， ∴ ∠A的平分线经过点P，且PD=PE=PF. A 三角形三条内角的平分线性质定理 例1：如图,在△ABC中,已知AC=BC, ∠C=90°, AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB,垂足为E. (1)如果CD=4cm，AC的长; E D A B C （1）解：∵AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E， ∴DE=CD=4cm. ∵AC=BC,∴∠B=∠BAC. ∵∠C=90°,∴∠B=45°.∴BE=DE. 在等腰直角三角形BDE中， 三、典例精练 知识点一：三角形三边的垂直平分线 （2）证明：由（1）的求解过程易知， Rt△ACD≌Rt△AED(HL). ∴AC=AE. ∵BE=DE=CD, ∴AB=AE+BE=AC+CD. E D A B C 例1：如图,在△ABC中,已知AC=BC, ∠C=90°, AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB,垂足为E. (2)求证：AB=AC+CD. 三、典例精练 知识点一：三角形三边的垂直平分线 1. 已知，如图，△ABC中，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且交于P，PD⊥AB，PE⊥ BC，PF ⊥CA，垂足分别为D、E、F，PD=2cm，则PE=_____，PF=_____. 2cm 2cm 四、课堂练习 2．三条公路围成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（　　） A．三角形的三条角平分线的交点处 B．三角形的三条中线的交点处 C．三角形的三条高的交点处 D．以上位置都不对 A 四、课堂练习 3. 如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数为(　　) A．110° B．120° C．130° D．140° A 四、课堂练习 4．如图，已知△ABC的周长是20，点O为∠ABC与∠ACB的平分线的交点，且OD⊥BC于D．若OD＝2，则△ABC的面积是（　　） A．20 B．12 C．10 D．8 A 四、课堂练习 5．如图，O是△ABC的角平分线的交点，△ABC的面积和周长都为24，则点O到BC的距离为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 B 四、课堂练习 5．如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别为30，40，50，AO，BO，CO分别是三个内角平分线，则S△AOB：S△BOC：S△AOC等于（　　） A．3：4：5 B．1：2：3 C．2：3：4 D．1：1：1 A 四、课堂练习 　6. 已知：如图，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF. 　求证：CF=EB. 证明：∵AD平分∠CAB, 　　DE⊥AB，∠C＝90°（已知）, ∴　CD＝DE (角平分线的性质). 在Rt△CDF和Rt△EDB中,