1.4.1角平分线（第1课时）-2022-2023学年八年级数学下册教材配套教学课件(北师大版)

第一章 三角形的证明 1.4 角平分线 北师大版·八年级下册 第1课时 角平分线 如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等，离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处？（比例尺为1︰20000） D C S 解：作夹角的角平分线OC， 截取OD=2.5cm ，D即为所求. O 一、情景导入 角平分线的性质定理： 角平分线上的点到这个角的两边距离相等 结合我们前面学习的定理的证明方法， 你能写出这个性质的证明过程吗？ 二、探索新知 3 已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB,垂足分别为D，E. 求证：PD=PE. P A O B C D E 证明： ∵ PD⊥OA,PE⊥OB， ∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °. 在△PDO和△PEO中， ∠PDO= ∠PEO， ∠AOC= ∠BOC， OP= OP， ∴ △PDO ≌ △PEO(AAS). ∴PD=PE. 定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等 ∵OC平分∠AOB，∴∠AOC= ∠BOC 性质定理： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 应用所具备的条件： （1）角的平分线； （2）点在该平分线上； （3）垂直距离. 几何语言： ∵OP 是∠AOB的平分线， ∴PD = PE 推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个. PD⊥OA,PE⊥OB， B A D O P E C 应用:常用来证明两条线段相等 角平分线的性质定理： P A O B C D E 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上． 思考：交换角的平分线性质中的已知和结论，你能得到什么结论，这个结论正确吗？ 角平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 思考：这个结论正确吗？ 逆 命 题 已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE. 求证：点P在∠AOB的角平分线上. 证明： 作射线OP， ∴点P在∠AOB 角的平分线上. 在Rt△PDO和Rt△PEO 中， （全等三角形的对应角相等）. OP=OP（公共边）， PD= PE（已知 ）， B A D O P E ∵PD⊥OA,PE⊥OB. ∴∠PDO=∠PEO=90°， ∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ HL）. ∴∠AOP=∠BOP 命题：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 判定定理： 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. P A O B C D E 应用所具备的条件： （1）位置关系：点在角的内部； （2）数量关系：该点到角两边的距离相等. 几何语言： ∵ PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE. ∴点P 在∠AOB的平分线上. 应用：常用来证明点在直线上（或直线经过某一点） 定理 内容 条件 结论 图示 性质 定理 判定 定理 在一个角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线 角平分线性质与判定定理 角平分线上的点到角两边的距离相等. OP 平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB PD⊥OA,PE⊥OB， PD=PE. P A O B C D E PD = PE OP 平分∠AOB 例1 ：如图，在△ABC中，∠BAC=60°，点D在BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF，求DE的长. 解： ∵DE ⊥ AB，DF ⊥ AC，DE=DF， ∴AD平分∠BAC 又∵ ∠BAC=60°， ∴ ∠BAD=30°. 在Rt △ADE中， ∠AED=90°，AD=10， ∴DE= AD= ×10=5 三、典例精练 知识点一：角平分线的性质 10 三、典例精练 知识点二：角平分线的判定 例2：如图，A、B两点分别在射线OM，ON上，点C在∠MON的内部，且AC＝BC，CD⊥OM，CE⊥ON，垂足分别为D，E，且AD＝BE． 求证：OC平分∠MON； 证明：∵CD⊥OM，CE⊥ON， ∴∠ADC＝∠CEB＝90°， 在Rt△ADC和Rt△BEC中， AC=AC，AD＝BE ∴Rt△ADC≌Rt△BEC（HL）， ∴CD＝CE， ∵CD⊥OM，CE⊥ON， ∴OC平分∠MON 1．如图，P为∠AOB平分线上的点，PD⊥OA于D，PD＝3cm，则点P到OB的距离为（　　） A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm 四、课堂练习 C 2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，已知AB＝16，CD＝5，则