第6章 空间向量与立体几何 单元检测卷-2022-2023学年高二数学新教材同步题型+能力+素养练（苏教版2019选择性必修第二册）

第6章 空间向量与立体几何 单元检测卷 一、选择题:本大题共8小题，每小题3分，共24分。 1．已知在空间四边形中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【点拨】根据得到G为CD的中点，再利用平行四边形法则得到，最后代入计算即可. 【详解】因为，故G为CD的中点，如图， 由平行四边形法则可得， 所以. 故选：A. 2．若构成空间的一个基底，则（    ） A．不共面 B．不共面 C．不共面 D．不共面 【答案】A 【点拨】根据空间向量共面定理依次判断各选项即可得答案. 【详解】解：由题知不共面， 对于A，因为不存在实数使得成立，故不共面，A正确； 对于B，因为，故共面，B错误； 对于C，因为，故共面，C错误； 对于D，因为，故共面，D错误. 故选：A 3．已知正三棱柱，为棱上靠近点的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【点拨】根据空间向量的线性运算直接求解即可. 【详解】. 故选：C. 4．定义．若向量，向量为单位向量，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【点拨】根据，利用空间向量的数量积和模的公式求解. 【详解】解：由题意知． 设与的夹角为， 则． 又， ． , 故选：B． 5．已知向量，若，则实数的值为（    ） A．8 B．7 C． D．14 【答案】B 【点拨】根据向量垂直，则向量数量积为0，得到，解出即可. 【详解】已知向量，因为， 所以，解得． 故选：B． 6．设空间两个单位向量与向量的夹角都等于，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【点拨】首先根据为单位向量得到，再利用与的夹角等于，得.联立方程求解出与的值，最后再利用向量的夹角公式进行求解即可. 【详解】空间两个单位向量，与向量的夹角都等于， ，， ， 又，， 又为单位向量，， 联立，得或， ，， . 故选：C. 7．在长方体中，，则直线与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【点拨】以为坐标原点，建立合适空间直角坐标系，写出相关向量，求出平面的一个法向量为，计算，则可得到线面夹角正弦值. 【详解】以为坐标原点，，，的方向为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，.设平面的法向量为， 则，令，解得，，∴. ∵，， ∴直线与平面所成角的余弦值为 . 故选：C. 8．如图，菱形边长为2，，E为边的中点，将沿折起，使A到，连接，且，平面与平面的交线为l，则下列结论中错误的是（    ） A．平面平面 B． C．与平面所成角的余弦值为 D．二面角的余弦值为 【答案】C 【点拨】对于A，由平面几何的知识可知，再利用线面垂直的判定定理可证得平面，由此再利用面面垂直的性质定理即可证得平面平面； 对于B，利用线面平行的性质定理即可证得； 对于C，先证明两两垂直，建立空间直角坐标系，再求得与平面的一个法向量，从而可求得与平面所成角的余弦值为； 对于D，在C的基础上，求得平面与平面的一个法向量与，由此可求得二面角的余弦值为. 【详解】对于A，在菱形中连结，在中，，，所以是正三角形， 由于E为边的中点，所以，又，故， 又因为, 平面， 所以平面，因为，所以平面， 因为平面，所以平面平面，故A正确； 对于B，因为，平面，平面，所以面，又面与面的交线为l，面, 所以，故B正确； 对于C，由A知，，故折起后仍有， 又平面，则，故以为原点, 分别以为轴, 建立如图所示空间直角坐标系： 则，则， 因为面，所以是面的一个法向量， 设与平面所成角为，则， 所以，故C错误； 对于D，易证面，故为平面的一个法向量， 又， 设平面的一个法向量为：，则，即， 令，则，故， 所以， 又由图形可知二面角为锐角，故其余弦值为，故D正确. 故选：C. 二、多选题：本大题共4小题，每小题3分，共12分。 9．金刚石是天然存在的最硬的物质，如图1所示是组成金刚石的碳原子在空间中排列的结构示意图，组成金刚石的每个碳原子，都与其相邻的4个碳原子以完全相同的方式连接.从立体几何的角度来看，可以认为4个碳原子分布在一个正四面体的四个顶点处，而中间的那个碳原子处于与这4个碳原子距离都相等的位置，如图2所示.这就是说，图2中有，若正四面体ABCD的棱长为2，则正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【点拨】由空间向量模的概念，数量积运算对选项逐一判断 【详解】由题意得是四面体外接球的球心， 设是顶点在下底面的射影，AO是四面体的高，OB是的外接圆半径， 则，，， 解得，， 对于A， ，故A错误； 对于B，∵，∴， ∴，∴，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确， 故选：BD 10．已知空间三点，设.则下列结论正确的是（     ） A．若，且，